Ebooks, Audobooks and Classical Music from Liber Liber
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Web - Amazon

website statistics

We provide Linux to the World

We support WINRAR [What is this] - [Download .exe file(s) for Windows]

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
SITEMAP

Audiobooks by Valerio Di Stefano: Single Download - Complete Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Alphabetical Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Download Instructions

Make a donation: IBAN: IT36M0708677020000000008016 - BIC/SWIFT: ICRAITRRU60 - VALERIO DI STEFANO or
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Virhefunktio – Wikipedia

Virhefunktio

Wikipedia

Virhefunktion kuvaaja

Virhefunktion kuvaaja

Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista. Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa. Virhefunktio vastaa normitetun normaalijakauman kertymäfunktiota. Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti.

Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisin määritelmä on

$\textrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}dt$

[muokkaa] Virhefunktion ominaisuuksia

Virhefunktio on pariton funktio

$\textrm{erf}(-x) = -\textrm{erf}(x)\,$

ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa

$\textrm{erf}(z^*) = (\textrm{erf}(z))^*\,$ .

Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on

$\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)$

Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä

$\frac{d}{dx}\textrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{x^2}$

ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla

$\frac{d^n}{dx^n}\textrm{erf}(x) = (-1)^{n-1}\frac{2}{\sqrt{\pi}}H_{n-1}(x)e^{x^2}$ ,

missä $H k (x)$ on $k$ :s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali

$\int \textrm{erf}(x) dx = x\;\textrm{erf}(x) + \frac{e^{x^2}}{\sqrt{\pi}}$

Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä

$\textrm{erf}^{-1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{2n+1}(\frac{\sqrt{\pi}}{2}x)^{2n+1}$ ,

missä

$c_n=\sum_{m=0}^{n-1}\frac{c_m c_{n-1-m}}{(m+1)(2m+1)}, \; c_0 = 1$

[muokkaa] Virhefunktion komplementti

Virhefunktion komplementin kuvaaja.

Virhefunktion komplementin kuvaaja.

Virhefunktion komplementti määritellään

$\textrm{erfc}(x) = 1 - \textrm{erf}(x)\,$

tai yhtäpitävästi integraalina

$\textrm{erfc}(x) = \int_{x}^{\infty}e^{t^2}dt$ .

ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön

$\frac{d^2y}{dx^2} + 2x\frac{dy}{dx} -2y = 0$ .

Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa

$\frac{d}{dx}\textrm{erfc}(x) = -\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$

ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia

$\int \textrm{erfc}(x) dx = x\;\textrm{erfc}(x) - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$

[muokkaa] Aiheesta muualla

Virhefunktio Mathworldissa (englanniksi)
Virhefunktion komplementti Mathworldissa (englanniksi)

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../v/i/r/Virhefunktio.html

Luokat: Todennäköisyyslaskenta | Funktiot

Views

Etsi

Muilla kielillä

Our "Network":

Project Gutenberg
https://gutenberg.classicistranieri.com

Encyclopaedia Britannica 1911
https://encyclopaediabritannica.classicistranieri.com

Librivox Audiobooks
https://librivox.classicistranieri.com

Linux Distributions
https://old.classicistranieri.com

Magnatune (MP3 Music)
https://magnatune.classicistranieri.com

Static Wikipedia (June 2008)
https://wikipedia.classicistranieri.com

Static Wikipedia (March 2008)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com/mar2008/

Static Wikipedia (2007)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com

Static Wikipedia (2006)
https://wikipedia2006.classicistranieri.com

Liber Liber
https://liberliber.classicistranieri.com

ZIM Files for Kiwix
https://zim.classicistranieri.com

Other Websites:

Bach - Goldberg Variations
https://www.goldbergvariations.org

Lazarillo de Tormes
https://www.lazarillodetormes.org

Madame Bovary
https://www.madamebovary.org

Il Fu Mattia Pascal
https://www.mattiapascal.it

The Voice in the Desert
https://www.thevoiceinthedesert.org

Confessione d'un amore fascista
https://www.amorefascista.it

Malinverno
https://www.malinverno.org

Debito formativo
https://www.debitoformativo.it

Adina Spire
https://www.adinaspire.com