Tšebyševin epäyhtälö
Wikipedia
Todennäköisyyslaskennassa Tšebyševin epäyhtälön mukaan todennäköisyysavaruudessa lähes kaikki todennäköisyysjakauma jakautuu keskiarvon lähelle.
[muokkaa] Yleinen väittämä
Epäyhtälö esitetään usein mittateorian avulla. Tällöin todennäköisyysteoreettinen väittämä on mittateoreettisen väittämän erikoistapaus.
[muokkaa] Mittateoreettinen muotoilu
Olkoon (X,Σ,μ) mitta-avaruus ja f laajennettu reaaliarvoinen mitallinen funktio X:ssä. Tällöin kaikilla reaaliluvuilla t > 0,
Yleisemmin, jos g on epänegatiivinen reaaliarvoinen mitallinen funktio, joka ei ole vähenevä f:n määrittelyjoukossa, on
Edellinen väitös seuraa asettamalla
ja valitsemalla |f| f:n asemesta.
[muokkaa] Todennäköisyysteoreettinen muotoilu
Olkoon X satunnaismuuttuja odotusarvonaan μ ja äärellisenä varianssinaan σ2. Tällöin kaikilla reaaliluvuilla k > 0,
Ainoastaan tapaukset k > 1 tarjoavat hyödyllistä tietoa.
Esimerkiksi valitsemalla k=√2 huomataan, että vähintään puolet annetun jakauman arvoista sijaitsevat välillä (μ − √2 σ, μ + √2 σ).
Tšebyševin epäyhtälöä käytetään todistamaan heikko suurten lukujen laki.
