Rengas
Wikipedia
Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite, joka sijoittuu rakenteellisesti ryhmän ja kunnan väliin. Rengas sisältää kaksi laskutoimutusta: yhteen- ja kertolaskun. Yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä. Kertolaskun suhteen ryhmällä on olemassa neutraalialkio ja voimassa assosiatiivi- ja distributiivilait. Sen sijaan renkaan alkioilla ei ole olemassa käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Tämä ominaisuus liitetään kuntaan.
[muokkaa] Määritelmä
Ryhmä R on rengas binääristen operaatioiden + ja suhteen (merkitään ) kun se toteuttaa seuraavat ehdot:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Toisin sanoen
- R on Abelin ryhmä operaation + suhteen.
- R on monoidi operaation suhteen.
- .
Jos on kommutatiivinen, R on kommutatiivinen rengas.
Rengas on siis monoidia ja ryhmää monimutkaisempi rakenne jo siinä mielessä, että se yhdistää kaksi operaatiota. Näin rengas eroaa olennaisesti suorasta tulosta.
Kannattaa huomata, etteivät edellä merkityt + , , 1 ja 0 eivät tarkoita lukujen yhteen- tai kertolaskua, tai lukuja 1 tai 0, vaan joukossa käytettäviä operaattoreita ja joukon alkioita. Tosin lukurenkaista puhuttaessa nämä ovat usein yhteneviä.
Kuten muillekin algebrallisille struktuureille, renkaiden välille voidaan määritellä rakenteen säilyttävä kuvaus eli homomorfismi.
Esimerkkejä:
- Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. Kannattaa huomata, että vaikka luvuilla onkin yhteenlaskun suhteen käänteisalkio, kertolaskun suhteen sitä ei ole.
- Kompleksilukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen.
- Imaginaarilukujen joukko ei yksinään voi muodostaa rengasta, jossa on kertolasku, sillä kertolaskun yksikköalkio on luku 1, eikä se kuulu imaginaarilukujen joukkoon. Lisäksi imaginaarilukujen joukko ei ole kertolaskun suhteen suljettu.
- Neliömatriisit, joiden determinantti on 1, muodostavat ei-kommutatiivisen renkaan matriisien yhteen- ja -kertolaskun suhteen. Yhteenlaskun nolla-alkiona on tällöin nollamatriisi ja kertolaskun yksikköalkiona identiteettimatriisi.
[muokkaa] Kääntyvät alkiot ja nollanjakajat
Renkaan R alkio u on kääntyvä eli säännöllinen, jos on olemassa sellainen :n alkio u − 1, että uu − 1 = u − 1u = 1. Kääntyvää alkiota kutsutaan yleisesti yksiköksi. R:n kääntyvien alkioiden joukosta, eli yksikköryhmästä, käytetään merkintää R * . on ryhmä, mikä todistetaan seuraavasti:
- Koska , kääntyvien alkioiden joukko ei ole tyhjä.
- R * :n ykkösalkio on 1.
- Oletetaan, että . Tällöin , joten kääntyvien alkioiden joukko on suljettu kertolaskun suhteen.
- R * on assosiatiivinen, koska R on assosiatiivinen :n suhteen.
Nollasta poikkeavaa alkiota sanotaan nollanjakajaksi, jos on nollasta poikkeava , jolle ab = 0. Tällöin tietysti myös b on nollanjakaja. Kommutatiivista rengasta, jossa ei ole nollanjakajia, sanotaan kokonaisalueeksi.
Renkaan alkioista kääntyvät alkiot käyttäytyvät yleensä kaikkein säännöllisimmin, kun taas nollanjakajat vaikeuttavat tarkastelua. Erityisesti supistamissääntö on voimassa vain, jos a ei ole nollanjakaja. Tästä seuraa muun muassa se, että astetta n olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat R:n alkioita, voi olla enemmän kuin n juurta, jos ryhmässä R on nollanjakajia.