Ptolemaioksen lause
Wikipedia
Geometriassa Ptolemaioksen lause on nelikulmioon liittyvä epäyhtälö. Sen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille on voimassa . Yhtäsuuruus on voimassa vain jos ABCD on jännenelikulmio, eli sen kaikki kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä. Ptolemaioksen lause voidaan todistaa esimerkiksi inversion avulla tai yhdenmuotoisilla kolmioilla. Lausetta avulla voidaan muun muassa todistaa trigonometrian summakaavoja.
[muokkaa] Ptolemaioksen lauseen todistus
Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Kostruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhtenevät ( ja ). Tällöin joten Koska myöskin , on , sillä kolmiot EAC ja BAD ovat yhteneviä. Siten Siten ABCD on jännenelikulmio, joten Siten pisteet C,B ja E ovat samalla suoralla, joten EC = EB + BC. Nyt saadaan siis Kertomalla yhtälö puolittain AD:llä saadaan
Oletetaan sitten, että ABCD ei ole jännenelikulmio. Tällöin joten pisteet E, B ja C muodostaval kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa EC < EB + BC. Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä Siis Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen lauseen: , missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos ABCD on jännenelikulmio.