Homotopia
Wikipedia
Topologiassa kaksi jatkuvaa funktiota sanotaan olevan homotooppisia keskenään jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen. Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiasssa.
[muokkaa] Matemaattinen määritelmä
Kahden jatkuvan funktion 
ja 
välinen homotopia on jatkuva funktio ![H:X \times [0,1] \to Y](../../../math/e/9/0/e90fbf798237734541171ebfcd412898.png)
siten, että H(x,0) = f(x) ja H(x,1) = g(x). Jos kuvauksen H toinen parametri ajatellaan olevan aikaparametri, voidaan H:ta ajatella funktiona, joka näyttää kullakin ajan hetkellä tietyn välivaiheen, kun kuvausta f ollaan muuttamassa kuvaukseksi g.
[muokkaa] Ominaisuuksia
Homotopia on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle. Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos f1 ja 
ovat homotopioita ja 
ovat homotopioita, on näiden yhdistetyt kuvaukset 
ja 
myöskin homotopioita.
Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotopioita, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit ovat homologia ryhmän mielessä samat: 
kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin-Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, antaa f:n ja g:n indusoima ryhmähomomorfismi samat homotopiaryhmät: 
.
Tämän takia algebrallisessa topologiassa avaruudet voidaan erotella vain niiden homotopialuokkiensa mukaan.
