ترکیبیات

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

این مقاله به تمیزکاری نیاز دارد. لطفاً آن را تا جایی که ممکن است، از نظر املا، انشا، چیدمان و درستی بهتر کنید. پس از این کار، این الگو را از بالای مقاله حذف کنید. محتویات این مقاله ممکن است غیرقابل اعتماد و نادرست یا جانبدارانه باشند یا قوانین حقوق پدیدآورندگان را نقض کنند.

شمارش و شمردن حالات انجام یک کار از زمانهای دور مورد بررسی بوده‌است. گویا این کار بیش از همه در جنگها برای شمارش سربازان به کار می‌رفته‌است. در این قسمت روشهایی را برای شمردن بدون شمارش دانه به دانه معرفی می‌کنیم.البته باید یاد آوری کنیم که مبحث شمارش همهٔ ترکیبیات را در بر نمی‌گیرد بلکه ترکیبیات یکی از شاخه‌های بسیار وسیع عالم ریاضی است و شمارش بخشی از آن است. ابتدا از دو اصل پر کاربرد شروع می‌کنیم: ۱)اصل ضرب:اصل ضرب می‌گوید که «اگر ما $k$ شی داشته و هر یک را به $m$ شی قسمت کنیم آنگاه $m k$ شی خواهیم داشت».این اصل بسیار بدیهی است.حال ما آن را به صورتی پر کاربرد تر بیان می‌کنیم: «اگر پیشامدی به $2$ پیشامد پشت سر هم تقسیم گردد و پیشامد اول به $k$ حالت و پیشامد دوم به $m$ حالت واقع شود آنگاه کل پیشامد به $m k$ حالت واقع می‌شود.» مثال:شخصی قصد سفر از شهر $A$ به شهر $B$ و سپس شهر $C$ را دارد.از شهر $A$ به شهر $B$ ,پنج جاده و از $B$ به $C$ چهار راه وجود دارد.اگر از $A$ به $C$ جادهٔ مستقل وجود نداشته باشد به چند طریق می‌توان از $A$ به $C$ رفت؟جواب:واضح است که بنا بر اصل ضرب پاسخ برابر $20$ می‌باشد. این ساده‌ترین نوع سوال ترکیبیات است. در اصل شمارش اگر کاری را بتوان به m طریق وکار دیگری را بتوان به nطریق انجام داد واگر این دو کار را نتوان هم‌زمان انجام داد آنگاه این یا آن کار را می‌توان به m+n طریق انجام داد.