N-mõõtmeline geomeetria

See artikkel (või pilt) on esitatud kustutamiseks! Lisateavet põhjuste kohta saad artikli arutelust, üldist infot artiklite kustutamise reeglite kohta artiklite kustutamise leheküljelt.

Selle artikli sisu on vaidlustatud! Loe kriitikameelega! Lisateavet vaidlustamise põhjuse kohta saad artikli arutelust.

Vajab toimetamist

N-mõõtmeline geomeetria on geomeetria, kus mõõdete arv ei ole piiratud kolmega.

Kõige lihtsam viis selle ette kujutamiseks on alustada vähematest mõõtmetest, lisada neid ükshaaval kuni kolmeni ja siis jätkata samal põhimõttel.

Järgnevas mõttekäigus on lähtutud eukleidilisest ruumimudelist

Kui mõõtmeid on null, siis ei ole ruumi üldse. Selline on punkti pind -- on ainult nullkoordinaat, kust ei saa kuhugi liikuda.

Kui mõõtmeid on üks, siis tekib sirge (lõputu joon). Selline on arvsirge, kus iga punkti saab määrata ühe koordinaadiga mõne punkti suhtes. Et koordinaate üldse määrata, peab eelnevalt olema määratud nullpunkt ja mõõtühik, et oleks mingi seostatus vastava sirgega. Sirgel on võimalik märkida punkte ja lõikusid ehk kuni ühemõõtmelisi objekte. Objekti sujuvat liikumist sirgel saab tõkestada ühe punktiga, kui eeldada, et kaks objekti ei saa katta sama pinda – kui sirgel on punkt, siis sellest mööda minna ei saa.

Kui mõõtmeid on kaks, on tegu tasandiga. Tasandil saab iga punkti määrata kahe koordinaadiga X ja Y nullpunkti suhtes. Kui tasandil on (lõputu) sirge, siis jaotab see tasandi pooleks ja objekt, mis on ühel poolel, ei saa minna sellest mööda teisele poolele; samuti on võimalik vangistada ruuduga (ilma ruudu servaga samale alale sattumata ei ole võimalik sujuvalt ruudu sisse ega sellest välja pääseda). Samas punktist on tasandil võimalik mööduda. Kaugus nullpunktist on kaugus^2 = x^2 + y^2. Tasandil on võimalik märkida tasapinnalisi objekte.

Kui mõõtmeid on kolm, on tegu ruumiga. Paljud on harjunud sellist kujutlema ruumina, kus elame – sellises ruumis on võimalikud tahukad ja muud 3D objektid. Koordinaate punkti määramiseks on vaja kolme – X, Y, Z. Kaugus nullpunktist on kaugus^2 = x^2 + y^2 + z^2. Sellist ruumi on võimalik tasandiga kaheks osaks jagada nii, et ühelt poolelt teisele ei saa; samuti on selles võimalik vangistada kuubi või "kastiga". Samas joonest või ruudust võib lihtsalt üle astuda – kellegi ümber meie ruumis ruudu joonistamine ei vangista teda.

Kui mõõtmeid on neli, on tegu hüperruumiga. Sellises ruumis on võimalikud näiteks hüpertahukad, aga ka kõik muud objektid, mis on võimalikud vähemate mõõtmetega ruumides. Koordinaate on vaja nelja – näiteks X, Y, Z ja H. Poolitada saab sellist ruumi hüpertasandiga, mis on oma punktide poolest identne terve lõpmatu kolmemõõtmelise ruumiga, nagu kolmemõõtmelist ruumi saab poolitada tasandiga, mis on nagu terve kahemõõtmeline ruum. Vangistada on võimalik hüperkuubiga, mis on nagu kaks kuupi, mille vastavad servad on ühendatud joontega nende servade kõikide punktide vahel. Tavalisest kuubist on võimalik lihtsalt välja astuda – see tunduks sellise ruumi elanikele natuke sellisena, nagu ruut meile. Samuti on võimalik tasandist lihtsalt mööduda. Kaugus nullpunktist on kaugus^2 = x^2 + y^2 + z^2 + h^2. Sellist ruumi võiks kujutleda kui Newtoni ruumi, mille aeg ja ruum on ühendatud üheks korraga olemasolevaks pildiks (nagu kinofilm on mingis mõttes kolmemõõtmeline, sest kui kõik kaadrid üksteise otsa panna, siis tekib kolmemõõtmeline objekt, oleks 3D animatsioon neljamõõtmeline, kui oleks selline ruum, kuhu selle kaadrid järjestada).

Eriomadustega mõõtmed (mitteeukleidiline)

Lihtne näide on aeg, mida paljud sõnastavad, kui "ühesuunalist mõõdet" – samas ei tähenda see veel, et ajamõõde muudest arvutuste mõttes kuidagi erineks (ehkki aeg erineb ruumist kindlasti).

Keerukam näide on mõõde, mis sisaldab ainult kõverust (sellist kasutatakse näiteks relatiivsusteoorias) ja on lisamõõtmeks teistele. Näide ruumikõverusest tasandil oleks kummist (venitatav) kile, mille peale on tekitatud künkaid ja orge – kui mõõta selle peal kaugusi, siis ilmselgelt ei kehti eukleidiline geomeetria. Einsteini ruumikõverus on midagi analoogset kolmemõõtmelises ruumis, ehkki märksa keerukam. Samuti on võimalik ruum väänata kerale ja teostada mõõtmisi seal peal. Sellisel juhul muutub nurkade mõõtmine (näiteks võrdhaarse kolmnurga nurgad ei ole enam 180 kraadi) ja samuti ei ole paralleelsed sirged enam päris see, mis nad on eukleidelises ruumis (ei kehti reegel, et kui on sirge ja punkt, siis sellel sirgel on üks paralleelne sirge, mis läbib selle punkti).

Mitmesuguseid erinevate omadustega lisamõõtmeid kasutatakse näiteks füüsikas.