Lihtne teist järku diferentsiaalvõrrand

Vajab toimetamist

Lihtsaks teist järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju y''=f(x) (loetakse "igrek teine tuletis võrdub funktsioon iksist").

Sisukord

1 Teist järku tuletise avaldamine diferentsiaali kaudu
2 Näited
- 2.1 Näide 1
- 2.2 Näide 2

[redigeeri] Teist järku tuletise avaldamine diferentsiaali kaudu

Et diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks on vaja võtta võrrandi mõlemast poolest integraal peab tuletised kuidagi avaldama diferentsiaalide kaudu.

Funktsiooni y=f(x) diferentsiaal on dy=y'dx, mis kujutab endast argumendi x funktsiooni, seepärast võime leida ka dy diferentsiaali, mida nimetatakse teist järku diferentsiaaliks. sel puhul kirjutatakse d(dy) ehk lühidalt d²y ja loetakse "de kaks igrek".

Avaldame funktsiooni teist järku diferentsiaali funktsiooni tuletise kaudu. Selleks diferentseerime x järgi võrdust dy=y'dx, kusjuures dx loeme konstandiks, kuna dx ei sõltu x- ist:

d²=d(y'dx=d(y')dx, kuid vastavalt diferentsiaali mõistele saame d(y')=(y')'dx=ydx. Seepärast $d^2y=y''dx \cdot dx=y''dx^2 \frac{}{}$ , kus $dx^2 \frac{}{}$ tähendab diferentsiaali dx ruutu (loetakse "de iks ruut"). jagades saadud valemit astmega $dx^2 \frac{}{}$ , leiame $y''= \frac{d^2y}{dx^2}$ . Tähendab siis, funktsiooni y=f(x) teist järku tuletis avaldub selle funktsiooni teist järku diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali ruudu jagatisena.

Seega saame võrrandi y=f(x) esitada kujul: $\frac{d^2y}{dx^2}=f(x)$ . Kui selles võrrandis asendada $\frac{dy}{dx}=p$ , siis teisendub võrrand muutuja p suhtes esimest järku diferentsiaalvõrrandiks.

[redigeeri] Näited

[redigeeri] Näide 1

Lahendada võrrand $\frac{d^2y}{dx^2}=4x+3$

Lahendus: Tähistame $\frac{dy}{dx}=p$ , siis $\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{dp}{dx}$ . Antud võrrandi võime kirjutada järgmiselt: $\frac{dp}{dx}=4x+3 \ / \cdot dx \Rightarrow dp=(4x+3)dx$ . Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja p, paremat poolt muutuja x järgi ehk võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.

$\int dp= \int (4x+3)dx \Rightarrow p= 2x^2+3x+C_1$ , kuid kuna $p= \frac{dy}{dx}$ siis võime kirjutada $\frac{dy}{dx}=2x^2+3x+C_1$ . Saime eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi. Järgnevalt eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemat poolt läbi dx-iga.

$\frac{dy}{dx} \ / \cdot dx=2x^2+3x+C_1 \ / \cdot dx \Rightarrow dy=(2x^2+3x+C_1)dx$ . Integreerides veelkord saame:

$y= \int (2x^2+3x+C_1)dx= \frac{2}{3} x^3+ \frac{3}{2} x^2 +C_1x+C_2$ . See on antud võrrandi üldlahend. Et leida erilahendit peame teadma vähemalt kahte punkti mida see funktsiooni graafik läbib.

Vastus: Võrrandi üldlahend on $y= \frac{2}{3} x^3+ \frac{3}{2} x^2 +C_1x+C_2$

[redigeeri] Näide 2

Lahendada eelnev diferentsiaalvõrrand $\frac{d^2y}{dx^2}=4x+3$ eeldades, et funktsiooni graafik läbib punkte (0;6) ja (1; 1/6).

Lahendus: Kõigepealt on vaja leida võrrandi üldlahend. Üldlahendi leidmist siinkohal kordama ei hakka kuna see on esitatud eelmises näites.

Lahendamiseks asendame vastavad x ja y väärtused üldlahendisse, saame C₁ ja C₂ määramiseks järgmise võrrandisüsteemi:

$\left\{\begin{matrix} 6= \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 +C_1 +C_2 \\ \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 + C_1 \cdot 1 + C_2 \end{matrix}\right.$ . Lahendades antud lineaarvõrrandisüsteemi saame lahenditeks $C_1=-8 \frac{}{}$ ja $C_2=6 \frac{}{}$ .