Dedekindi lõige

Dedekindi lõige (matemaatik Richard Dedekindi järgi) lineaarselt järjestatud hulgas S on hulga S selline klassijaotus (A, B), et A on allapoole kinnine (see tähendab, hulga A mis tahes elemendi a korral järeldub sellest, et x≤a, et ka x on A element) ning B on ülespoole kinnine (see tähendab, hulga B mis tahes elemendi b korral järeldub sellest, et a≤y, et ka y on B element) ning hulgal A puudub suurim element.

"Lõige" tähendab siin hulkade A ja B vahelist "tühimikku".

Dedekindi lõike algsete ja kõige tähtsamate juhtumite puhul on hulk S vastavalt ratsionaalarvude hulk ja reaalarvude hulk koos loomuliku osalise järjestusega.

Dedekindi lõigete abil tõestati reaalarvude hulga täielikkus, kasutamata valiku aksioomi. See näitas ühtlasi, et täieliku järjestatud korpuse olemasolu ei sõltu valiku aksioomist.

[redigeeri] Dedekindi lõigetega ümberkäimine

Tähistusviis (A, B) on küll sümmeetriline, ent kuna hulgad A ja B määravad Dedekindi lõikes teineteist ära, siis võib teda üles märkida ka ainult ühe "poole" (näiteks alumise) abil ning nimetada Dedekindi lõikeks mis tahes allapoole kinnist hulka A, millel puudub suurim element.

Kui S on täielikult järjestatud hulk, peab mis tahes Dedekindi lõikes (A, B) hulgal B olema minimaalne element b, mistõttu A on lõpmatu vahemik (−∞, a) ja B on lõpmatu poollõik [b, +∞).

See artikkel on pooleli.