Operador diferencial

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En matemáticas, un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operador de diferenciación. Ayuda, como una cuestión de notación, considerar a la diferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra (al estilo de una función de orden superior de las ciencias de la computación).

Tabla de contenidos

1 Notaciones
2 Métodos con operadores
3 Otras formas
4 Propiedades de los operadores diferenciales
5 Varias variables
6 Descripción independiente de las coordenadas
7 Ejemplos

[editar] Notaciones

El uso más común del operador diferencial es la acción de tomar la derivada en sí misma. Las notaciones comunes de éste operador incluyen:

${d \over dx}$

D

, en donde la variable que se va a diferenciar es clara y

D t

, en donde la variable se declara explícitamente.

Las primeras derivadas se toman como arriba pero, para las derivadas de orden superior, las n-ésimas, son útiles los siguientes cambios:

$d^n \over dx^n$

D n

$D^n_t$

[editar] Métodos con operadores

El uso y la creación de la notación D se debe a Oliver Heaviside, quien consideraba los operadores diferenciales de la forma

$\sum_{k=0}^n c_k D^k$

en su estudio de las ecuaciones diferenciales.

[editar] Otras formas

Uno de los operadores diferenciales que se ve con más frecuencia es el operador laplaciano

$\Delta=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.$

[editar] Propiedades de los operadores diferenciales

La diferenciación es lineal, i.e.

D (f + g) = (D f) + (D g)

D (a f) = a (D f)

en donde f y g son funciones y a es una constante.

Cualquier polinomio en D con funciones como coeficientes es también un operador diferencial. También se pueden componer operadores diferenciales con la regla

(D₁oD₂)(f) = D₁ (D₂(f)).

Se requiere de algo de cuidado: primero, cualesquiera coeficientes de función en el operador D₂ deben ser diferenciables tantas veces como requiera la aplicación de D₁. Para obtener un anillo de dichos operadores se debe suponer que se utilizan derivadas de todos los ordenes. Segundo, este anillo no debe ser conmutativo: un operador gD no es el mismo en general que Dg. De hecho se tiene por ejemplo la relación básica en mecánica cuántica: Dx − xD = 1.

El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, en contraste, conmutativo. Puede ser caracterizado de otra forma: consiste en los operadores de traslación invariantes.

[editar] Varias variables

Las mismas construcciones pueden ser hechas con derivadas parciales, la diferenciación con respecto a variables distintas da como lugar a operadores que conmutan (ver simetría de las segundas derivadas).

[editar] Descripción independiente de las coordenadas

En la geometría diferencial y la geometría algebraica es con frecuencia conveniente tener una descripción independiente de las coordenadas de los operadores diferenciales entre dos grupos vectoriales. Sean E y F dos grupos de vectores sobre una variedad M. Un operador es un mapeo de secciones, $P:\Gamma(E)\rightarrow\Gamma(F)$ que se mapea el tallo del manojo de los gérmenes de $Γ(E)$ en el punto $x\in M$ a la fibra de F en x:

$P:\Gamma_x(E)\rightarrow F_x$ .

Se dice que un operador P es un operador diferencial de orden k-ésimo si los factores a través del chorro del manojo $J k (E)$ . En otras palabras, existe un mapeo lineal de conglomerados vectoriales

$i_P:J^k(E)\rightarrow F$

tal que $P=i_P\circ j^k$ como en la siguiente composición:

$P:\Gamma_x(E)\rightarrow J^k(E)_x\rightarrow F_x$ .

[editar] Ejemplos

En aplicaciones a las ciencias físicas, los operadores como el operador de Laplace juegan un importante papel para escribir y solucionar ecuaciones diferenciales parciales.

En la geometría diferencial los operadores de derivada exterior y derivada de Lie tienen un significado intrínseco.

En álgebra abstracta el concepto de derivación significa que los operadores diferenciales pueden seguir definidos, aún en ausencia de los conceptos de cálculo basados en la geometría.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../o/p/e/Operador_diferencial.html"

Categoría: Análisis matemático