Menor, cofactor y comatriz

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Sea A una matriz cuadrada de orden n .
Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A_i,j.
Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:

El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M _{i, j} = det( A _{i, j} ) .

En el ejemplo, M_3,2 = 34

El cofactor de a_i,j, es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( a_i,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) ^{i + j}. Se le nota c_{i, j} = (-1) ^{i + j} · M_i,j o a_i,j con una tilde encima.

En el ejemplo, c_{3, 2} = (-1)⁵ × 34 = -34.

La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, gracias a la relación:

A·^tcom A =^tcom A · A = det A· I_n, donde I_n es la matriz identidad de orden n.