Factores de escala

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Dado un sistema de coordenadas ortogonal, puede construirse una base vectorial ortonormal en cada punto, a partir de los vectores tangentes a cada línea coordenada. En la obtención de estos vectores se definen unas cantidades, denominadas factores de escala, que aparecen frecuentemente en las fórmulas del cálculo vectorial.

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen partiendo de un punto dado, de coordenadas (q₁,q₂,q₃), variando una de ellas y manteniendo fijas las otras dos. Un sistema de coordenadas se dice ortogonal si las líneas coordenadas son ortogonales en cada punto. Las coordenadas cartesianas, las cilíndricas y las esféricas, son ejemplos de coordenadas ortogonales.

Tomando los vectores tangentes a cada línea en un punto, obtenemos tres vectores ortogonales entre sí, pero no unitarios

Para obtener un sistema ortonormal, dividimos cada vector por su módulo

Las cantidades h_i son los denominados factores de escala. Su nombre proviene de que dan lo proporción entre lo que varía una coordenada y el desplazamiento que produce esta variación.

Son importantes porque aparecen en multitud de expresiones de cálculo vectorial. Así, un desplazamiento infinitesimal se escribe

Un elemento de volumen diferencial es, en coordenadas curvilíneas,

También aparecen en las expresiones en coordenadas curvilíneas del gradiente, la divergencia y el rotacional.

Aplicando el cálculo de los factores de escala a las coordendas cartesianas se obtiene

En cilíndricas

y en esféricas