اندرونی حاصل ضرب فضا

وکیپیڈیا سے

ایسی لکیری فضا جس میں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف کیا ہؤا ہو، کو اندرونی حاصل ضرب فضا کہتے ہیں۔

تعریف: اندرونی حاصل ضرب

"اندرونی حاصل ضرب" ایک فنکشن ہے، جو سمتیہ فضا V کے سمتیہ u اور v کے جوڑے کے ساتھ ایک اصلی عدد $\langle u, v \rangle$ کی نسبت اسطرح جوڑتی ہے، کہ نیچے دیے قواعد پورے ہوں۔ یہاں u, v, w سمتیہ ہیں، اور $α$ ایک سکیلر (تمام اعداد میدان $\mathbb{R}$ پر ہیں)

$\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$ متناظر
$\langle u+v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle$ جمع
$\langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle v, u \rangle$ ہم جنسیت
$\langle u, u \rangle \ge 0$ مثبت ہونا
$\langle u, u \rangle = 0 \iff u = 0$ "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو گی، اگر بشرطِ اگر، جب سمتیہ خود صفر ہو۔

فہرست

1 اقلیدیسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب"
2 فضا میں سمتیہ کی لمبائی
- 2.1 اقلیدسی فضا میں سمتیہ کی لمبائی
3 فضا میں فاصلہ
- 3.1 اقلیدسی فضا میں فاصلہ
4 "اندرونی حاصل ضرب" کی مذید خصوصیات
5 قائم الزاویہ
6 "فیثاغورث" مسلئہ اثباتی
7 قائم امثول
8 مسقط
- 8.1 مسقط مسلئہ اثباتی
- 8.2 مسلئہ اثباتی
9 اور دیکھو

[ترمیم کریں] اقلیدیسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب"

اقلیدس سمتیہ فضا $\mathbb{R}^n$ پر سمتیہ $\mathbf{u} = \left[\begin{matrix} u_0 \\ u_1 \\ \vdots \\ u_{n-1} \end{matrix}\right]$ اور سمتیہ $\mathbf{v} = \left[\begin{matrix} v_0 \\ v_1 \\ \vdots \\ v_{n-1} \end{matrix}\right]$ کے درمیان ایک

"اندرونی حاصل ضرب" یوں تعریف کیا جا سکتا ہے:

$\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^t \mathbf{v} = u_0 v_0 + u_1 v_1 + \cdots + u_{n-1} v_{n-1}$

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ تعریف قوائد 1 تا 5 پر پورا اترتی ہے۔ (یہاں t پلٹ (میٹرکس) کو ظاہر کرتا ہے۔)

اس اندرونی ضرب کی زیادہ عام صورت اس طرح تعریف کی جاتی ہے۔ اگر A ایک مقلوب میٹرکس ہو، تو "اندرونی حاصل ضرب" یوں تعریف کرتے ہیں:

$\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = {(A \mathbf{u})}^t A\mathbf{v} = {\mathbf{u}}^t A^t A \mathbf{v}$

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ تعریف قوائد 1 تا 5 پر پورا اترتی ہے۔ (یہاں t پلٹ (میٹرکس) کو ظاہر کرتا ہے۔) یاد رہے کہ میٹرکس ضرب لکیری استحالہ بناتی ہے۔ اس مساوات کو ہم یوں لکھتے ہیں

$\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = {\mathbf{u}}^t R \mathbf{v} \,,\,\,\, R=A^t A$

یہ زور دینے کے لیے کہ R ایک متناظر میٹرکس ہے۔

[ترمیم کریں] فضا میں سمتیہ کی لمبائی

تفصیلی مضمون : امثولہ (ریاضی)

لکیری فضا $\ V$ میں ایک سمتیہ $\mathbf{v}$ کی لمبائی کو $\ \| \mathbf{v}\|$ لکھتے ہیں، اور یہ سمتیہ کا اپنے ساتھ "اندرونی حاصل ضرب" کے جزر سے یوں تعریف کی جاتی ہے:

$\| \mathbf{v}\| = \sqrt{ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}$

سمتیہ کی لمبائی کو سمتیہ کا اُمثولہ بھی کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے سمتیہ کی norm کہتے ہیں۔

[ترمیم کریں] اقلیدسی فضا میں سمتیہ کی لمبائی

اقلیدسی فضا $\mathbb{R}^n$ میں سمتیہ کی لمبائی کی تعریف یوں ہو جائے گی (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی پہلی تعریف استعمال کرتے ہوئے):

$\| \mathbf{u}\| = \sqrt{{u_0}^2+{u_1}^2+\cdots+{u_{n-1}}^2}$

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ (Euclidean geometry) میں لمبائی کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "لمبائی" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

[ترمیم کریں] فضا میں فاصلہ

تفصیلی مضمون : فاصلہ (ریاضی)

لکیری فضا میں دو سمتیوں $\mathbf{u}$ اور $\mathbf{v}$ (فضا میں دو نکتوں) کے درمیان فاصلہ $d(\mathbf{u},\mathbf{v})$ یوں تعریف کیا جاتا ہے:

$d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \| \mathbf{u-v} \|$

[ترمیم کریں] اقلیدسی فضا میں فاصلہ

اقلیدسی فضا $\mathbb{R}^n$ میں فاصلے کی تعریف یوں ہو سکتی ہے (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی پہلی تعریف استعمال کرتے ہوئے):

$d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \sqrt{{(u_0-v_0)}^2+{(u_1-v_1)}^2+\cdots+{(u_{n-1}-v_{n-1})}^2}$

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ میں دو نکتوں کے درمیان فاصلے کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "فاصلے" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

[ترمیم کریں] "اندرونی حاصل ضرب" کی مذید خصوصیات

"اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف سے کچھ مذید خصوصیات اخذ کی جا سکتی ہیں ( $\mathbf{u}$ ، $\mathbf{v}$ ، اور $\mathbf{r}$ ، سمتیہ ہیں، جبکہ $\ k$ ایک سکیلر):

$\langle \mathbf{0}, \mathbf{u} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{0} \rangle = \mathbf{0}$
$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v+r} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{u}, \mathbf{r} \rangle$
$\langle \mathbf{u}, \mathbf{\alpha v} \rangle = \alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$
$\langle \mathbf{u-v}, \mathbf{r} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{r} \rangle - \langle \mathbf{v}, \mathbf{r} \rangle$
$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v-r} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle - \langle \mathbf{u}, \mathbf{r} \rangle$

[ترمیم کریں] قائم الزاویہ

دو سمتیہ $\mathbf{u}$ اور $\mathbf{v}$ کو قائم الزاویہ کہا جائے گا اگر ان کا "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو، یعنی

$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{0}$

اگر سمتیہ $\mathbf{u}$ کا مجموعہ $\ S$ میں تمام سمتیوں سے "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو، تو سمتیہ $\mathbf{u}$ کو مجموعہ $\ S$ سے قائم الزاویہ کہا جاتا ہے۔ انگریزی میں اسے orthogonal کہتے ہیں۔

[ترمیم کریں] "فیثاغورث" مسلئہ اثباتی

تصویر میں فضا $\mathbb{R}^2$ کی مثال

اگر سمتیہ $\ u$ اور $\ v$ قائم الزاویہ ہوں، یعنی

$\langle u, v \rangle = 0$

تو:

${\|u\|}^2 + {\|v\|}^2 = {\|u+v\|}^2$

[ترمیم کریں] قائم امثول

ایک "اندرونی حاصل ضرب فضا" پر سمتیہ مجموعہ ${v i}$ ، جس میں ہر سمتیہ دوسرے سے قائیم الزاویہ ہو، اور ہر سمتیہ کا امثولہ ایک (1) ہو، ایسے سمتیہ مجموعہ کو قائم امثول بولتے ہیں۔ یعنی

$\langle v_i, v_j \rangle = 0 \,\,, i \ne j$

اور

$\langle v_i, v_i \rangle = 1$

جسے یوں بھی لکھا جا سکتا ہے

$\| v_i\| = 1$

انگریزی میں اسے orthonormal کہتے ہیں۔

[ترمیم کریں] "قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا" پر $\ S = \{v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}\}$ اگر ایک "قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو، تو اس فضا کے کسی سمتیہ $\ u$ کو اس مجموعہ کے حوالے سے یوں لکھا جا سکتا ہے:

$\ u = \langle u, v_0 \rangle v_0 + \langle u, v_1 \rangle v_1 + \cdots \langle u, v_{n-1} \rangle v_{n-1}$

یعنی سمتیہ u کی صورت اس بنیاد سمتیہ مجموعہ S کے حوالے سے n اعداد سے ظاہر کی جاتی ہے، جسے (یعنی n اعداد کو) ہم میٹرکس کے بطور یوں لکھ سکتے ہیں:

$\ u = \left[ \begin{matrix} \langle u, v_0 \rangle \\ \langle u, v_1 \rangle \\ \vdots \\ \langle u, v_{n-1} \rangle \end{matrix} \right]$

$\mathbb{R}^n$ فضا میں "قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ مجموعہ" کے حوالے سے فضا کے کسی سمتیہ کی صورت نکالنے کا طریقہ ہم دیکھ چکے ہیں۔ اس مسلئہ اثباتی کی خوبی یہ ہے کہ یہ کسی بھی سمتیہ فضا (جہاں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو) کے لیے طریقہ بتاتا ہے۔ یہ بھی خیال رہے کہ اگر بنیاد سمتیہ مجموعہ قائم الزاویہ نہ ہو تو صورت نکالنے کے طریقہ میں یکلخت لکیری مساوات کا حل نکالنے کی دشواری کا سامنا کرنا پڑتا ہے۔

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا"، جس کا بُعد n ہو۔ اس فضا پر $\ S = \{v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}\}$ ایک "قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو۔ اس فضا کے کسی سمتیہ $\ \mathbf{u}$ اور $\ \mathbf{w}$ کو اس مجموعہ کے حوالے سے یوں لکھا گیا ہو:

$\mathbf{u} = \left[\begin{matrix} u_0 \\ u_1 \\ \vdots \\ u_{n-1} \end{matrix}\right]\,,\,\, \mathbf{w} = \left[\begin{matrix} w_0 \\ w_1 \\ \vdots \\ w_{n-1} \end{matrix}\right]\,,$

تو سمتیہ کے امثولہ، فاصلہ، اور "اندرونی حاصل ضرب" کو یوں دیا جاتا ہے:

$\| \mathbf{u}\| = \sqrt{\mathbf{u}^t \mathbf{u}} = \sqrt{u_0^2+u_1^2+\cdots+u_{n-1}^2}$

$d(\mathbf{u},\mathbf{w}) = \sqrt{{(\mathbf{u-w})}^t (\mathbf{u-w})} = \sqrt{{(u_0-w_0)}^2+{(u_1-w_1)}^2+\cdots+{(u_{n-1}-w_{n-1})}^2}$

$\langle \mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle = \mathbf{u}^t \mathbf{w} = u_0 w_0 + u_1 w_1 + \cdots + u_{n-1}w_{n-1}$

اس مسلئہ اثباتی کی خوبی یہ ہے کہ یہ $\mathbb{R}^n$ فضا جیسے خوبصورت نتائج کسی بھی سمتیہ فضا (جہاں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو) کے لیے عام کرتا ہے۔

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

کسی"اندرونی حاصل ضرب فضا" پر مجموعہ $\ S = \{v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}\}$ میں تمام n غیر صفر سمتیہ "قائم امثول" ہوں (تمام سمتیہ ایک دوسرے کے ساتھ قائم الزاویہ ہوں، اور ہر سمتیہ کا امثولہ ایک (1) ہو)، تو

یہ سمتیہ مجموعہ لکیری آزاد ہو گا۔

[ترمیم کریں] قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ (مسلئہ اثباتی)

لکیری فضا، جس میں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف ہؤا ہو، اور اس کا بُعد محدود ہو۔ ایسی لکیری فضا میں "قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ" ہمیشہ موجود ہوتا ہے۔

ایک "بنیاد سمتیہ مجموعہ" سے "قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ" گرام شمٹ طریقہ سے نکالا جا سکتا ہے۔ اس طریقہ میں مسقط (نیچے دیکھو) کی مدد سے مجموعہ سے قائم امثول مجموعہ کشید کیا جاتا ہے۔

[ترمیم کریں] مسقط

تفصیلی مضمون: مسقط (ریاضی) (projection)

[ترمیم کریں] مسقط مسلئہ اثباتی

اگر U کسی "اندرونی حاصل ضرب فضا" V کی لکیری ذیلی فضا ہو، تو V کے کسی بھی سمتیہ v کو صرف ایک منفرد صورت میں یوں لکھا جا سکتا ہے:

$\ v = u + b$

جبکہ سمتیہ u "ذیلی فضا" U میں ہو، اور سمتیہ b "ذیلی فضا" U کے قائم الزاویہ ہو۔ اب سمتیہ u کو سمتیہ v کا مسقط (projection) کہا جاتا ہے۔

تصویر میں $\mathbb{R}^3$ فضا میں سمتیہ v دکھایا گیا ہے۔ (اس فضا کو جیومیٹری میں معکب XYZ کہا جا سکتا ہے۔) اس سمتیہ کا مسقط سمتیہ u ہے، جو کہ فضا $\mathbb{R}^2$ (جیومیٹری میں XY پلین) میں ہے۔ غور کرو کہ سمتیہ u اور سمتیہ b ایک دوسرے سے نوے درجہ کے زاویہ (قائم الزاویہ) پر ہیں۔ دراصل سمتیہ b اور پلین XY آپس میں قائم الزاویہ ہیں (یعنی سمتیہ b ، پلین XY میں کسی بھی سمتیہ سے نوے درجہ کا زاویہ بناتا ہے) ۔ سمتیہ b کو اکثر غلطی سمتیہ کہا جاتا ہے۔

"اندرونی حاصل ضرب" کی مدد سے ہم مسقط نکال سکتے ہیں۔

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

ایک "اندرونی حاصل ضرب فضا" V کی لکیری ذیلی فضا U ہو۔ اگر فضا U کے لیے $\{v_0, v_1, \cdots, v_{n-1} \}$ ایک قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو، تو فضا V کے کسی بھی سمتیہ z کا مسقط $proj U z$ ذیلی فضا U میں یوں نکالا جا سکتا ہے:

$\hbox{proj}_U z = \langle z, v_0 \rangle v_0 + \langle z, v_1 \rangle v_1 + \cdots +\langle z, v_{n-1} \rangle v_{n-1}$

مثال: فضا $\mathbb{R}^3$ میں سمتیہ $z = \left[\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\right]$

کا پلین XY میں مسقط نکالتے ہیں۔ پلین XY کے لیے $v_0 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]\,,\,\, v_1 = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]$ ایک قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ ہے۔ اب

$\langle z, v_0 \rangle = z^t v_0 = 2$

$\langle z, v_1 \rangle = z^t v_1 = 2$

$\hbox{proj}_{\{XY plane\}} z = 2 v_0 + 2 v_1 = \left[\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right]$

[ترمیم کریں] اور دیکھو

کاشی شوارز نامساوات

              اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ           ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D8%A7/%D9%86/%D8%AF/%D8%A7%D9%86%D8%AF%D8%B1%D9%88%D9%86%DB%8C_%D8%AD%D8%A7%D8%B5%D9%84_%D8%B6%D8%B1%D8%A8_%D9%81%D8%B6%D8%A7.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

We provide Linux to the World

اندرونی حاصل ضرب فضا

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم کریں] اقلیدیسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب"

[ترمیم کریں] فضا میں سمتیہ کی لمبائی

[ترمیم کریں] اقلیدسی فضا میں سمتیہ کی لمبائی

[ترمیم کریں] فضا میں فاصلہ

[ترمیم کریں] اقلیدسی فضا میں فاصلہ

[ترمیم کریں] "اندرونی حاصل ضرب" کی مذید خصوصیات

[ترمیم کریں] قائم الزاویہ

[ترمیم کریں] "فیثاغورث" مسلئہ اثباتی

[ترمیم کریں] قائم امثول

[ترمیم کریں] "قائم امثول" بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

[ترمیم کریں] قائم امثول بنیاد سمتیہ مجموعہ (مسلئہ اثباتی)

[ترمیم کریں] مسقط

[ترمیم کریں] مسقط مسلئہ اثباتی

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

[ترمیم کریں] اور دیکھو

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں