Плоскость (математика)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
-
У этого термина существуют и другие значения, см. Плоскость.
Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А.К.Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816-1818), нормальное уравнение ввёл Л.О.Гессе (1861).
[править] Некоторые характеристические свойства плоскости
- П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую соединяющую любые её точки;
- П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
- П. в n-мерном пространстве есть полное множество точек (n-1)-мерного пространства.
[править] Уравнения плоскоcти
Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-й степени.
- Общее уравнение (полное) плоскости
- (1) Ax + By + Cz + D = 0,
где A,B,C и D - постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где - радиус-вектор точки M(x,y,z), вектор
перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора
:
Если один из коэффициентов в уравнении П. равен уравнение наз. неполным. При D = 0 П. проходит через начало координат, при A = 0 (или B = 0, C = 0) П. параллельна оси Ox (соответствённо Oy или Oz). При A = B = 0 (A = C = 0, или B = C = 0) П. параллельна плоскости Oxy (соответственно Oxz или Oyz).
- Уравнение плоскости в отрезках:
где a = − D / A,b = − D / B,c = − D / C - отрезки, отсекаемые П. на осях Ox,Oy и Oz.
- Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору
:
- A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0;
в векторной форме:
- Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(xi,yi,zi), не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
- Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
- (2) xcosα + ycosβ + zcosγ − p = 0;
в векторной форме:
где - единичный вектор, p - расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки μ и D противоположны).
- Отклонение точки M1(x1,y1,z1) от плоскости
- δ = x1cosα + y1cosβ + z1cosγ − p;
δ > 0,если Mi и начало координат лежат по разные стoроны П., в противоположном случае δ < 0. Расстояние от точки до П. равно | δ | .
- Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
Если в векторной форме, то
- Плоскости параллельны, если
или
- Плоскости перпендикулярны, если
- A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 или
.
- Пучок плоскостей – уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плокостей
- α(A1x + B1y + C1z) + β(A2z + B2y + C2z) = 0,
где α и β - любые числа, не равные одновременно нулю.