Плоскость (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Плоскость.

Две пересекающиеся плоскости в трехмерном пространстве

Плоскость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А.К.Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816-1818), нормальное уравнение ввёл Л.О.Гессе (1861).

[править] Некоторые характеристические свойства плоскости

П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую соединяющую любые её точки;
П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
П. в n-мерном пространстве есть полное множество точек (n-1)-мерного пространства.

[править] Уравнения плоскоcти

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-й степени.

Общее уравнение (полное) плоскости

(1)

A x + B y + C z + D = 0,

где $A, B, C$ и $D$ - постоянные, причём $A, B$ и $C$ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

$(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0$

где $\mathbf{r}$ - радиус-вектор точки $M (x, y, z)$ , вектор $\mathbf{N}=(A,B,C)$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора $\mathbf{N}$ :

$\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен уравнение наз. неполным. При $D = 0$ П. проходит через начало координат, при $A = 0$ (или $B = 0$ , $C = 0$ ) П. параллельна оси $O x$ (соответствённо $O y$ или $O z$ ). При $A = B = 0$ ( $A = C = 0$ , или $B = C = 0$ ) П. параллельна плоскости $O x y$ (соответственно $O x z$ или $O y z$ ).

Уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,$

где $a = - D / A, b = - D / B, c = - D / C$ - отрезки, отсекаемые П. на осях $O x, O y$ и $O z$ .

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M (x 0, y 0, z 0)$ перпендикулярно вектору $\mathbf{N}(A,B,C)$ :

A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0;

в векторной форме:

$((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.$

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M (x i, y i, z i)$ , не лежащие на одной прямой:

$((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_2}),(\mathbf{r}-\mathbf{r_3}))=0$

(смешанное произведение векторов), иначе

$\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x-x_2&y-y_2&z-z_2\\ x-x_3&y-y_3&z-z_3\\ \end{matrix}\right|=0.$

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

(2)

x cosα + y cosβ + z cosγ - p = 0;

в векторной форме:

$(\mathbf{r},\mathbf{N^0})=0,$

где $\mathbf{N^0}$ - единичный вектор, $p$ - расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель