Seqüência matemática

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Em matemática, uma sucessão (no Brasil usa-se o termo seqüência) é uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma sucessão é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A sucessão dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a sucessão por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A sucessão também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da sucessão fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma sucessão em S.

Uma sucessão pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma sucessão finita ou uma sucessão infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma sucessão infinita. Sucessões infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma sucessão pode ser definida como uma função de $\mathbb{N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma sucessão inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma sucessão polinomial.

Em certos casos pode-se falar em convergência da sucessão. Isto é discutido em mais detalhes no artigo sobre limites.

Uma subsucessão de uma sucessão S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma sucessão é uma série. Por exemplo:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n-1}{2^{n-1}}$

[editar] Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

$\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$

$\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)$

[editar] Fórmula do termo geral

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

$a_n=a_1+(n-1).r\,\!$