Homologia singular

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Em matemática, a homologia singular é uma teoria de homologia que associa a cada espaço topológico uma sequência de grupos abelianos $\{H^s_p(X)\}_{p \in \mathbb{N}}$ , e a cada aplicação contínua $f:X \rightarrow Y\,\!$ , entre dois dados espaços topológicos, uma sequência de homomorfismos induzidos $f_{*,p}:H^s_p(X) \rightarrow H^s_p(Y)$ $(p\in \mathbb{N})$ .

Assim como toda homologia, a homologia singular é um funtor covariante $Hom\,\!$ entre a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas e a categoria dos grupos graduados em $\mathbb{N}$ e os homomorfismos de grupos graduados em $\mathbb{N}$ . É conveniente também, dado um espaço topológico $X\,\!$ e um subespaço $A \subset X$ , definir a homologia singular relativa $H(X,A)\,\!$ .

[editar] Definições associadas

Seja $X\,\!$ um espaço topológico, $\Delta_p\,\!$ o simplexo padrão p-dimensional, isto é;

$\Delta_p = \{(x_1,...,x_p) \in \mathbb{R}^p | \sum_{i=1}^{p}{x_i} \leq 1 \}.$

Note que, $\{e_1,...,e_p\}\,\!$ , a base canônica do $\mathbb{R}^p$ também é o conjunto dos pontos extremais do convexo $\Delta_p\,\!$ .

Sejam também, para $1 \leq j < p$ ,

$F^p_i = [e_1,...,\hat{e_{i}},...,e_{p-1}]: \mathbb{R}^{p-1} \rightarrow \mathbb{R}^p$ ,

a aplicação linear que leva $e_i\,\!$ em $e_i\,\!$ , para $i < j \,\!$ , e $e_i\,\!$ em $e_{i+1}\,\!$ , para $j \leq i < p$ .

$F^p_i$ é o chamado i-ésimo operador face de $\Delta_p\,\!$ .

Definimos o p-ésimo operador bordo sobre $\Delta_p\,\!$ como

$\partial_p :\Delta_{p-1} \rightarrow \Delta_p\,\!$ dada por $\partial_p(x)=\sum^p_{i=1}{(-1)^i F^p_i(x)}$ .

[editar] Construção do complexo singular

Definimos um p-simplexo singular de $X\,\!$ como uma aplicação contínua

$\sigma : \Delta_p \rightarrow X\,\!$ .

Definimos para $p \leq 0$ o p-ésimo grupo singular de $X$ , $G_p^s(X)$ , como sendo o grupo abeliano livre gerado pelos p-simplexos singulares de $X$ . Note que podemos definir também $\partial_p$ agindo sobre $G^s_p(X)$ . Podemos escrever um elemento qualquer de $G_p^s(X)$ como $\sum^N_{i=1}c_i \sigma_i$ , onde os $\sigma_i\,\!$ 's são p-simplexos singulares de $X\,\!$ , e os $c_i\,\!$ 's são inteiros não-nulos. Definimos $\partial_p (\sum_{i=1}^N {c_i \sigma_i})$ por $\sum_{i=1}^N {c_i \partial_p ( \sigma_i)}$ .

Portanto, $\partial_p : G_p^s(X) \rightarrow G_{p-1}^s(X)$ está bem definida.

Seja $p \in \mathbb{N}$ . Chamamos de $Nuc(\partial_p)\,\!$ de grupo dos p-ciclos singulares de X, que será denotado por $Z^s_p(X)$ . De forma análoga, diremos que $Im(\partial_{p+1})\,\!$ é o grupo dos p-bordos singulares de X, que será denotado por $B^s_p(X)$ . É fácil mostrar que $\partial_p \partial_{p-1} = 0\,\!$ , e que portanto, $\mathcal{S}(X)=\{(G^s_p(X),\partial_p)\}_{p \in \mathbb{N}}$ define um complexo de cadeias, a que chamaremos de complexo de cadeias singulares associado ao espaço topológico $X$ Por definição, o p-ésimo grupo de Homologia de $\mathcal{S}(X)$ é grupo $H^s_p(X)=Z^s_p(X) / B^s_q(X)$ .