Twierdzenie sinusów

Z Wikipedii

Twierdzenie sinusów, wzór sinusów, twierdzenie Snelliusa

Spis treści 1 Treść twierdzenia 2 Dowód 2.1 Przypadek 1. 2.2 Przypadek 2. 2.3 Przypadek 3. 3 Wnioski 4 Zobacz też

[edytuj] Treść twierdzenia

W dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

Zależność tą można zapisać następująco:

.

[edytuj] Dowód

Wystarczy udowodnić jedną z równości, np. równość , gdyż dowody pozostałych są analogiczne. Podanej równości równoważna jest następująca:

Na trójkącie ΔABC opisujemy okrąg i rozważamy trzy przypadki.

[edytuj] Przypadek 1.

sinγ = 1 oraz c = 2R, więc równość jest spełniona.

[edytuj] Przypadek 2.

Kreślimy średnicę AD i rozważamy pomocniczy trójkąt ΔABD. Kąt jest prosty, więc oznaczając kąt przez δ otrzymujemy

Ponieważ AB = c, AD = 2R oraz δ = γ (są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku), prawdziwa jest dowodzona równość.

[edytuj] Przypadek 3.

Postępując tak jak w przypadku 2. otrzymujemy równość

Na mocy twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy . Zatem . Także w tym przypadku dowodzona równość okazuje się prawdziwa.

[edytuj] Wnioski

Używając twierdzenia sinusów można udowodnić:

• nierówność Erdősa,
• twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie,
• twierdzenie tangensów.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• twierdzenie cosinusów.