Riemannintegratie
Binnen de wiskunde is Riemannintegratie een methode ontdekt door Bernhard Riemann om op een interval de oppervlakte onder de grafiek van een functie te berekenen. Die oppervlakte is de waarde van de integraal van de beschouwde functie over dat interval.
Stel nu dat we een functie f hebben. En voor een interval [a,b] van het domein van f willen we de oppervlakte onder de grafiek uitrekenen. Een methode om deze oppervlakte te benaderen is de volgende:
- verdeel het interval [a,b] in een aantal, zeg q, deelintervallen,
- de lengte van het i-de deelinterval is Δqi
- het maximum van f op het i-de deelinterval noemen we Mi
- het minimum van f op het i-de deelinterval noemen we mi
De oppervlakte onder de grafiek van f boven het i-de deelinterval wordt dan opgesloten tussen miΔqi en MiΔqi
De totale oppervlakte onder de grafiek boven het gehele interval [a,b] ligt dan tussen
- de zgn. ondersom
en
- de zgn. bovensom
Daarmee is dus een benadering van die oppervlakte verkregen.
 |
Een dergelijke som heet een Riemannsom.
Uiteraard wordt deze benadering steeds beter naarmate de verdeling in deelintervallen fijner wordt. Als in een bepaald limietproces de boven- en ondersommen convergeren naar een getal R, heet R de Riemannintegraal van de functie f over het interval [a,b], genoteerd als:
Als f de afgeleide is van de functie F, kan de integraal R geschreven worden als:
.
Merk op dat het zo dus ook mogelijk is een waardeverandering van F te benaderen op het interval [a,b], zelfs als F zelf niet expliciet bepaald kan worden uit f.
Om deze reden wordt ook wel grappend gezegd dat het teken voor integratie (een Gotische S) de limiet is van het teken voor sommatie (de Griekse S).
 |
