Intégrale de Riemann

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En analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon simple de définir l'intégrale d'une fonction sur un intervalle comme l'aire du domaine sous la courbe de la fonction.

Sommaire

1 Aperçu Général
2 Les fonctions en escalier
3 Intégrales inférieures et supérieures
4 Quelques propriétés de l'intégrale de Riemann

[modifier] Aperçu Général

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur le segment [a,b], telle que pour tout x, f(x)≥0 (i.e. telle que f soit positive.) Soit S = S_f={(x,y)|0≤y≤f(x)} la région du plan délimitée par la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=a et x=b. Il s'agit de déterminer si la mesure de l'aire du domaine S est possible.

Désignons cette aire par ∫_a^bf(x)dx. Dans le cas où la fonction f a plusieurs variables, le dx sert à spécifier la variable d'intégration.

Si la variable d'intégration et l'intervalle d'intégration sont connus, la notation peut être simplifiée en ∫ f.

Après avoir défini l'intégrale de f pour une fonction f positive, nous étendons par linéarité l'intégrale aux fonctions qui peuvent prendre des valeurs négatives. Certaines fonctions ne sont clairement pas intégrables au sens de Riemann, mais en général les interactions des limites et de l'intégrale de Riemann sont difficiles à étudier.

L'intégration de Lebesgue améliore cette théorie et permet d'obtenir une plus large variété de fonctions intégrables, et aussi de mieux décrire les interactions des limites et de l'intégrale.

Historiquement, Bernhard Riemann a conçu le premier cette théorie de l'intégration, et a donné quelques idées pour le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.

La théorie de l'intégration de Lebesgue est arrivée beaucoup plus tard, quand les faiblesses de l'intégrale de Riemann furent mieux comprises.

L'idée fondamentale de la théorie de l'intégration de Riemann est d'utiliser de très simples approximations de l'aire du domaine S. Nous déterminons une aire approximative dont nous sommes certains qu'elle est inférieure à l'aire de S, et nous cherchons une aire approximative dont nous sommes certains qu'elle est supérieure au domaine S. Si ces approximations peuvent être faites arbitrairement aussi proche l'une de l'autre, alors nous pouvons donner une aire au domaine S.

Le fondement géométrique de l'intégrale de Riemann, nous permet de formuler beaucoup de problèmes issus de la nature, comme des problèmes d'intégration.

Elle fournit aussi quelques indications pour les méthodes de l'intégration numérique, permet d'évaluer numériquement des intégrales avec un degré de précision acceptable. Cependant, pour les calculs exacts d'une intégrale donnée, l'intrégrale de Riemann ne suggère pas une approche convenable.

Pour certaines fonctions, la théorie de la primitivation donne des résultats exacts de leurs intégrales. Tandis que la théorie de l'intégration de Riemann justifie les passages à la limite et donne un point de vue géométrique, la théorie de la primitivation donne des outils pour intégrer de manière précise.

Les théories en apparence disparates d'intégration de Riemann et de primitivation sont reliées par le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.

[modifier] Les fonctions en escalier

Soit E un sous-ensemble quelconque du segment [a,b]. Soit X_E la fonction qui vaut 1 si x appartient à E et 0 si x n'appartient pas à E. X_E est appelée la fonction indicatrice de E, ou la fonction caractéristique de E.

Ces fonctions sont notre point de départ et nous devrions être tous d'accord si nous posons :

pour tout segment [c,d] inclus dans [a,b] et pour toute constante z≥0, ∫z X_[c,d](x)dx=z(d-c).

Dans ce cas l'aire sous la courbe de cette fonction est égale à l'aire du rectangle de base [c,d] et de hauteur z.

De la même manière, quelques expérimentations géométriques avec de telles fonctions nous amènent à penser que si f₁, f₂,..., f_n sont n fonctions indicatrices sur des intervalles disjoints et si $a 1, a 2,..., a n$ sont des scalaires positifs, alors l'aire du domaine sous la courbe de la fonction

$f=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_nf_n$

doit être égale à

$\int f = a_1 \int f_1 + a_2 \int f_2 + \cdots + a_n \int f_n$

Une fonction de cette forme est appelée une combinaison linéaire de fonction indicatrices, ou tout simplement une fonction en escalier. Remarquons maintenant que nous avons décidé quelle devrait être l'intégrale d'une fonction en escalier.

Nous prenons un raccourci maintenant en déclarant que la formule précédente reste valable si certains coefficients a_j sont négatifs.

Une différence cruciale entre l'intégrale de Riemann et celle de Lebesgue, est que les fonctions en escalier de l'intégrale de Lebesgue sont des combinaisons linéaires de fonctions indicatrices sur des ensembles qui ne sont pas nécessairement des intervalles.

Bien sûr, nous devons travailler d'avantage pour pouvoir calculer des intégrales d'une plus grande classe de fonctions que celle des fonctions en escalier. Aussi remarquons que l'intégrale de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures, et que les fonctions positives sont traitées en premier, avant d'étendre l'intégrale aux fonctions qui peuvent prendre des valeurs négatives.

[modifier] Intégrales inférieures et supérieures

À partir d'observations géométriques, simplement en voyant que le domaine S_f est un sous-ensemble de S_g (Au moins dans le cas de fonctions positives, ceci est clair.), nous imposons que si f vérifie pour tout x de [a,b], f(x)≤g(x) alors

∫f≤∫g

Nous appelons cette propriété la croissance de l'intégrale.

L'intégrale d'une fonction en escalier étant définie et la condition de monotonie étant imposée, nous pouvons intégrer des fonctions à valeurs positives arbitraires. Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur [a,b] et soit l une fonction en escalier telle que pour tout x on ait, l(x)≤f(x). De plus, soit u une fonction en escalier telle que pour tout x on ait, u(x)≥f(x). Si nous devions donner une valeur à ∫ f conforme à la condition de monotonie, alors nous devrions avoir :

∫l≤∫f≤∫u

L'intégrale ∫l est alors appelée une somme inférieure pour f et l'intégrale ∫u est alors appelée une somme supérieure pour f. L'inégalité précédente doit être vérifiée pour toutes sommes supérieures et inférieures de f, donc nous pouvons en déduire une autre inégalité:

sup_l∫l≤∫f≤inf_u∫u

où sup_l∫l est la borne supérieure de toutes les sommes inférieures, et inf_u∫u est la borne inférieure de toutes les sommes supérieures (voir borne supérieure et borne inférieure.) Le nombre sup_l∫l est parfois appelé intégrale inférieure de f; de la même manière, le nombre inf_u∫u est appelé intégrale supérieure.

Si les intégrales supérieures et inférieures sont égales, alors il y a seulement une façon de définir ∫ f. Il ne peut pas arriver que l'intégrale inférieure soit plus grande que l'intégrale supérieure (par construction, comme le lecteur peut le vérifier.) Cependant, il peut arriver que l'intégrale supérieure ne soit pas égale à l'intégrale inférieure. Par exemple, le lecteur peut vérifier cela, pour la fonction indicatrice :

X_Q

où Q est l'ensemble des nombres rationnels du segment [a,b], a<b, l'intégrale inférieure est égale à 0 et l'intégrale supérieure est égale à b-a>0.

Toutes les fonctions dont les intégrales inférieures et supérieures sont finies et égales, constituent l'ensemble des fonctions intégrables au sens de Riemann ou Riemann-intégrables. En revanche, les fonctions qui ont des intégrales inférieures et supérieures différentes sont dites non intégrables au sens de Riemann. Dans le contexte de cet article, nous dirons intégrable ou non intégrable sachant que nous parlons d'« intégrabilité » au sens de Riemann.

On peut vérifier qu'une fonction en escalier a une intégrale égale à ses intégrales supérieures et inférieures.

[modifier] Quelques propriétés de l'intégrale de Riemann

Lemme 1 : Soit [a,b] un segment. L'application I:f→∫f qui associe à f l'intégrale de a à b est une forme linéaire. Et ainsi pour toutes fonctions intégrables f et g, et tout nombre réel λ, I(λf+g)=λI(f)+I(g).

Ceci peut être démontré à partir des premiers principes de la construction de l'intégrale de Riemann.

Théorème 2 : Toute fonction à valeurs réelles, continue sur le segment [a,b] est intégrable.

La preuve repose sur le fait qu'une fonction continue sur un segment est uniformément continue.

Corollaire 3 : Si f est continue sur [a,b] sauf peut-être en un nombre fini de points de discontinuité, et si f est bornée, alors f est intégrable.

La condition f bornée ne peut pas être omise.

Théorème 4 : Si (f_k) est une suite de fonctions intégrables sur [a,b], et si (f_k) converge uniformément vers une fonction f, alors f est intégrable, et les intégrales ∫f_k convergent vers ∫f.

Corollaire 5 : Soit C(a,b) l'espace de Banach des fonctions continues sur [a,b] muni de la norme convergence uniforme. Alors I:f→∫f est continue. Conjointement avec le lemme 1, nous pouvons en déduire que l'intégrale est une forme continue sur C(a,b).

Les hypothèses du théorème 4 (convergence uniforme sur un segment) sont très fortes. Une première difficulté avec l'intégrale de Riemann se pose, lorsque nous tentons d'amoindrir ces hypothèses. En fait, la suite numérique (∫f_k) converge vers le nombre ∫f plus souvent que le théorème le suggère, mais il est très difficile de le prouver dans cet ensemble. La meilleure façon d'avoir un théorème plus fort est d'utiliser l'intégrale de Lebesgue.

Un autre problème avec l'intégrale de Riemann est qu'elle ne s'étend pas aux intervalles non bornés très facilement. Si nous souhaitons intégrer une fonction f de -∞ à +∞, nous pouvons calculer

$\lim_{n\to+\infty} \int_{-n}^n f(x)dx$

Cependant, certaines propriétés (telles que l'invariance par translation, le fait que l'intégrale de Riemann ne change pas si nous translatons l'intégrande f) ne sont plus vérifiées. En fait, le Théorème 4 devient faux pour une telle intégrale, et il devient très difficile d'utiliser des limites conjointement avec l'intégrale. De telles intégrales sont appelées intégrales impropres. À nouveau, l'intégration de Lebesgue allège ces difficultés.