Sinová věta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:
Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:
- .
Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“
Větu lze ovšem zformulovat také takto:
- , , ,
s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“
Věta se používá zejména v následujících dvou případech:
- Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
- Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů menší než 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.
[editovat] Důkaz věty
Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. Pak
a zároveň
- .
Pak tedy
- ,
což je totéž jako
- .
Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.
[editovat] Průměr kružnice opsané trojúhelníku
Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:
z čehož lze odvodit také její poloměr