Синусова теорема

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В тригономерията синусовата теорема се отнася до триъгълник в равнината. Ако страните на триъгълника са означени с a, b и c, а ъглите срещу тях със A, B и C, тогава синусовата теорема гласи:

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,$

Тази формула се използва, за да се намерят неизвестните страни на триъгълника, ако знаем 2 ъгъла и третата страна, което е основен проблем при триангулацията. Може да се използва и ако са известни две от страните и едни от ъглите, но не този сключен между тях. Тогава формулата ще даде 2 решения, за сключения между известните ни страни, ъгъл. Реципрочното число - a/sin(A)) е равно на диаметъра на окръжността, описана около триъгълника. Това може да се изрази по следния начин:

${a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = d.$

Или така:

$d = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^4+b^4+c^4) }}$

където

р е полупериметъра

$s = \frac{(a+b+c)} {2}$

[редактиране] Доказателство

Нека е даден триъгълник със страни a, b, и c и срещулежащи ъгли A, B, и C. Нека спуснем от върха C перпендикуляр към страната c и да го обозначим с h. Така получихме 2 правоъгълни триъгълника

За тях е вярно: