歐拉線
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在平面几何中，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
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[编辑] 证明
如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，连AH，作△ABC的外接圆直径BOD，再连DB、DA，则DC⊥BC…①，DA⊥AB…②
∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC…③，CH⊥AB…④
由①、③可知DC∥AH，由②、④可知DA∥CH，故四边形ADCH为平行四边形，∴AH=DC。∵点O与点M分别是BD、CB的中点 ∴DC=2OM，即AH=2OM。作BC边上的中线AM,连OM、OH；设OH交AM与点G’
∵OM⊥BC，△AHG’∽△MOG’，∴AG’=2G’M，因此G’即△ABC重心G。
故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线，直线HGO即欧拉线。
[编辑] 推论
九点圆的圆心也在欧拉线上
如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三边中点Ii，三高的垂足Hi，和顶点到垂心的三条线段的中点Ji
令HΩ和J1H1的交点为K，∵BΩ=CΩ，BI1=CI1，∴ΩI1⊥BC，又∵AH1⊥BC，∴ΩI1∥AH1。
∵∠GΩI1=∠AGH，∠GAH=∠GI1Ω，∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1，∴AH=2ΩI1，即ΩI1=J1H。
∵∠ΩKI1=∠J1KH，∠KJ1H=∠KI1H，J1H=ΩI1，∴△ΩKI1≌△HKJ1。∴J1K=KI1。
故K为九点圆圆心。∵点K在HO上，九点圆圆心在欧拉线上
[编辑] 参考资料
- 《数学题解辞典·平面几何》，上海辞书出版社。
