外代数

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在数学上，给定向量空间V的外代数（也称格拉斯曼代数,英文：exterior algebra, Grassman algebra)是特定的酉关联代数，它包含V为一个子空间。它记为Λ(V) or Λ^•(V)而它的乘法，称为楔积或外积,记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本属性是它在V上交替:

$v\wedge v = 0$ for all vectors $v\in V$

这表示

$u\wedge v = - v\wedge u$ 对于所有向量 $u,v\in V$ , 以及

$v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0$ 当 $v_1,\ldots,v_k\in V$ 线性相关时。

注意这三个性质只对V中向量成立,不对代数Λ(V)中所有向量成立。

外代数事实上是"最一般的"满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为v₁∧v₂∧…∧v_k的元素，其中v₁,…,v_k在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂记为Λ^k(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和:

$\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V$

该外积有一个重要性质，就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分级代数（graded algebra），其中级别由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量u∧v代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量u∧v∧w代表带方向的平行六面体，其边为u, v, 和w。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

[编辑] 基底和维度

若V的维度是n而{e₁,...,e_n}是V的基，则集合

$\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}$

是k接外幂Λ^k(V)的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

$v_1\wedge\cdots\wedge v_k$

则每个向量v_j可以记为基向量e_i的一个线性组合;利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基k-向量前的系数可以用通过积e_i来描述v_j的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到Λ^k(V) 的维度是n 取 k。特别的有， Λ^k(V) = {0} 对于 k > n.

外代数是一个分级代数，是如下直和

$\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)$

(其中我们置Λ⁰(V) = K而Λ¹(V) = V)，所以其纬度等于二项式系数之和，也就是2ⁿ.

[编辑] 例子: 欧氏三维空间的外代数

考虑空间R³，其基为{i, j, k}。一对向量的楔积为

$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k}$

而

$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}$

是

$\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$

其中{i ∧ j, i ∧ k, j ∧ k}是三维空间Λ²(R³)的基底。

再加一个向量

$\mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k}$ ,

这三个向量的楔积是

$\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$

其中i ∧ j ∧ k是一维空间Λ³(R³)的基底。

空间Λ¹(R³) 是R³, 而空间Λ⁰(R³) 是R。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间Λ(R³)，这是八维向量空间

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8) := (a_1, a_2 \mathbf{i} + a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}, a_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k})$ .

那么，给定一对8维向量a和b, 其中a如上给出，而

$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8)$ ,

a和b的楔积如下(用列向量表达),

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 \\ a_1 b_3 + a_3 b_1 \\ a_1 b_4 + a_4 b_1 \\ a_1 b_5 + a_5 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_1 b_6 + a_6 b_1 + a_2 b_4 - a_4 b_2 \\ a_1 b_7 + a_7 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 \\ a_1 b_8 + a_8 b_1 + a_2 b_7 + a_7 b_2 - a_3 b_6 - a_6 b_3 + a_4 b_5 + a_5 b_4 \end{pmatrix}$ .

容易验证8维楔积以向量(1,0,0,0,0,0,0,0)为乘法幺元。也可以验证该Λ(R³)代数的楔积是结合的(也是双线性的):

$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),$

所以该代数是酉结合的。

[编辑] 泛性质及构造

令V为一个域K（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。Λ(V)是“最一般”的包含V的并有一个交替乘法在V上的酉结合K-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个酉结合K-代数A和一个K-线性映射 j : V → A 使得 j(v)j(v) = 0 对于每个v 属于V成立，则存在恰好一个酉[[代数同态f : Λ(V) → A使得f(v) = j(v)所有v属于V成立。

Universal property of the exterior algebra

要构造最一般的包含V的代数，而且其乘法是在V上交替的，很自然可以从包含V的最一般的代数开始，也就是张量代数T(V)，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取双面理想I属于T(V)，由所有形为v⊗v的元素组成，其中v属于V，并定义Λ(V)为商

Λ(V) = T(V)/I

（并且使用∧为Λ(V)中的乘法的代号）。然后可以直接证明Λ(V)包含V并且满足上述泛性质。

如果不是先定义Λ(V)然后把外幂Λ^k(V)等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间Λ^k(V)然后把它们合并成为一个代数Λ(V)。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

[编辑] 反对称算子和外幂

给定两个向量空间V和X，一个从V^k到X的反对称算子是一个多线形映射

f: V^k → X

使得只要v₁,...,v_k 是V中线形相关的向量，则

f(v₁,...,v_k) = 0.

最著名的离子是行列式值，从(Kⁿ)ⁿ到K的反对称线形算子。

映射

w: V^k → Λ^k(V)

它关联V中的k个向量到他们的楔积，也就是它们相应的k-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在V^k上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子f : V^k → X，存在一个唯一的线形映射φ: Λ^k(V) → X with f = φ o w。这个泛性质表述了空间Λ^k(V)并且可以作为它的定义。

所有从V^k到基域K的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若V是有限维的，维度n，则该空间可以认同为Λ^k(V^∗)，其中V^∗表示V的对偶空间。特别的有，从V^k到K的反对称映射的空间是n取k维的。

在这个等同关系下，若基域是R或者C，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设ω : V^k → K和η : V^m → K为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

$\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$

其中多线性映射的交替Alt定义为其变量的所有排列的带符号平均：

${\rm Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)})$

注意： 有一些书中楔积定义为

$\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)$

[编辑] 指标记法

在主要由物理学家使用的指标记法中

$(\omega\wedge\eta)_{a_1 \cdots a_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon_{a_1 \cdots a_{k+m}}^{b_1 \cdots b_k c_1 \cdots c_m} \omega_{b_1 \cdots b_k} \eta_{c_1 \cdots c_m}$

[编辑] 微分形式

令M为一个微分流形.一个微分k-形式ω是Λ^kT^∗M(M的余切丛的k阶外幂)的一个截面.等价的有, ω是M的光滑函数,对于M的每个点x给定一个Λ^k(T_xM)^∗的元素. 大致来讲,微分形式是余切向量的全局版本.微分形式是微分几何的重要工具,其中,它们被用于定义德拉姆上同调和Alexander-Spanier上同调.

[编辑] 推广

给定一个交换环R和一个R-模M,我们可以定义和上文一样的外代数Λ(M),它是张量代数T(M)适当的商.它会满足类似的泛性质.

[编辑] 物理应用

格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

参看: 超空间, 超代数, 超群

[编辑] 相关课题

多线性代数
张量代数
对称代数
Clifford代数

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