Число Лефшеца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Число Лефшеца — инвариант отображения топологического пространства в себя. Пусть $X$ — топологическое пространство, $f:X\to X$ - непрерывное отображение, $H * (X, k)$ — группы гомологий $X$ с коэффициентами в поле $k$ . Пусть $t n$ — след линейного преобразования

$f_*:H_n(X,k)\to H_n(X,k)$

По определению, число Лефшеца отображения $f$ есть

$\Lambda(f,X)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^nt_n$

Число Лефшеца определено если общий ранг групп $H * (X, k) = 0$ конечен, и в этом случае не зависит от выбора $k$ .

[править] Свойства

Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике $X$ .

[править] Формула Лефшеца

Пусть $X$ — связное ориентируемое $n$ -мерное компактное топологическое многообразие или $n$ -мерный конечный клеточный комплекс, $f : X \to X$ - непрерывное отображение. Предполагается, что все неподвижные точки отображения $f : X \to X$ изолированы.

Для каждой неподвижной точки $x\in X$ пусть $i (x)$ — её индекс Кронекера (локальная степень отображения $f$ в окрестности точки $x$ ). Тогда формула Лефшеца для $X$ и $f$ имеет вид

∑	i(x) = Λ(f,X).
{x \| f(x) = x}

[править] История

Эта формула была установлена впервые Лефшецeм (Lefschetz) для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и для позже конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения $n$ -мерной сферы в себя.

Категории: Алгебраическая топология | Теоремы

Число Лефшеца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Свойства

[править] Формула Лефшеца

[править] История

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках