Теорема о сумме углов многоугольника
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема: Сумма углов k-угольника равна 180°(k-2).
Содержание |
[править] Доказательство
Доказательство проводится для случая выпуклого k-угольника
В случае k=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника.
Пусть A1A2...Ak - данный выпуклый многоугольник и k > 3. Тогда проведем n-3 диагонали: A1A3,A1A4,A1A5...A1Ak − 1. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n - 2 треугольника: ΔA1A2A3,ΔA1A3A4,...,ΔA1Ak − 1Ak. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма каждого треугольника равна 180°, а число этих треугольников есть k-2. Следовательно, сумма углов k-угольника равна 180°(k-2). Теорема доказана.
[править] Замечание
Для невыпуклого k-угольника сумма углов также равна 180°(k-2). Доказательство аналогично но использует в дополнение лемму о том что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники.
[править] Примечания
- Теорема о сумме углов многоугольника для многоугольников на сфере не выполняется (а также на любой другой искаженной плоскости, кроме некоторых случаев). Подробнее смотрите евклидова геометрия.
