Матрица вращения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Предлагается объединить эту статью с Матрица поворота. (Обсудить)

Матрицей вращения в математике называют матрицу, которая описывает вращение в евклидовом пространстве. Вращаться может как объект (напр. некоторое тело), так и сама система координат.

[править] Вращение на плоскости R²

Вращение объекта на евклидовой плоскости вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки описывается матрицей

$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ .

Само вращение происходит путём умножения вектора (описывающего вращаемую точку) на матрицу:

$\vec p' = R\cdot \vec p$ .

[править] Вращение в пространстве R³

Матрицами вращения вокруг начала координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

Вращение вокруг оси x:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ ,

Вращение вокруг оси y:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}$ ,

Вращение вокруг оси z:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ,

Матрицы могут использоваться как для право- так и для лево-симметричных систем. Вращения с положительным углом в правосторонней системе происходят в направлении против часовой стрелки. В левосторонних системах положительный угол означает вращение по часовой стрелке.

Вращение вокруг произвольного единичного вектора v=(v₁,v₂,v₃)^T:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha +v_1^2 \left(1-\cos \alpha\right) & v_1 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) - v_3 \sin \alpha & v_1 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) + v_2 \sin \alpha \\ v_2 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) + v_3 \sin \alpha & \cos \alpha + v_2^2\left(1-\cos \alpha\right) & v_2 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) - v_1 \sin \alpha \\ v_3 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) - v_2 \sin \alpha & v_3 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) + v_1 \sin \alpha & \cos \alpha + v_3^2\left(1-\cos \alpha\right) \end{pmatrix}$ .

[править] Свойства матрицы вращения

Свойства матрицы вращения $R \in \mathbb{R}^{n\times n}$ :

$det R = 1$ (Определитель)
$R T = R - 1$ (R транспонированная = R инвертированной)
$R T R = R R T = I$ (ортогональная матрица)
Направленность системы координат (правосторонняя или левосторонняя) сохраняется.
Осью вращения $\vec v$ является решение следующего уравнения:

$(R-I) \vec v = \vec 0$ .

Так как матрица $(R - I)$ является вырожденной, то определение оси вращения следует проводить через поиск собственных значений. Осью $\vec v$ является собственный вектор $R$ соответствующий собственному числу, равному $1$ .