Быстрота

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Быстрота́ (англ. rapidity) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»).

Быстрота выражается формулой:

$\theta = c \mathrm{Arth} \frac{v}{c} = \frac{c}{2}\ln\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}$ , где

$\displaystyle \theta$ — быстрота,
$\displaystyle v$ — обычная скорость,
$\displaystyle c$ — скорость света,
$\displaystyle \mathrm{Arth} x$ — гиперболический ареатангенс.

Гиперболический ареатангенс $\mathrm{Arth}x\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ определён в области значений аргумента от −1 до +1; при $x\rightarrow \plusmn 1$ $\mathrm{Arth}x\rightarrow \plusmn \infty.$ Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от −с до +с меняется от −∞ до +∞. Иногда вводят также параметр быстроты $\varphi \equiv \theta/c \equiv \mathrm{Arth} \frac{v}{c}$ — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости: $\theta \approx v\left(1+\frac{(v/c)^2}{3}\right)$ при $v \ll c.$

[править] Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта K две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна $\displaystyle v_1$ , а скорость второй относительно первой равна $\displaystyle v'_2$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе К через $\displaystyle v_2$ . При малых (по сравнению со скоростью света c) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей $\displaystyle v_2 = v_1 + v'_2$ . Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

$v_2=\frac{v_1+v'_2}{1+v_1 v'_2 / c^2}$

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты $\theta \equiv c\, \mathrm{Arth} \frac{v}{c}$ . Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта K равна сумме быстрот:

$\displaystyle \theta_2 = \theta_1 + \theta'_2.$

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

[править] См. также

Псевдобыстрота
Лоренцевский буст

Категория: Специальная теория относительности

Быстрота

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Аддитивность быстроты

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках