Matriz de rotação

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Uma matriz de rotação é uma matriz que quando multiplicada por um vetor tem o efeito de mudar a direção do vetor mas não de sua magnitude.

Índice

1 Propriedades
2 Duas dimensões
3 Três dimensões
4 Ver também
5 Ligações externas

[editar] Propriedades

$\mathcal{M}\in\mathbb{R}^{N\times N}$ é uma matriz de rotação se e somente se $\mathcal{M}$ for ortonormal.

$\mathcal{M}$ é ortonormal se seu vetor coluna formar uma base ortonormal de $\mathbb{R}^{N\times N}$ , que é, o produto escalar entre dois vetores coluna quaisquer for zero (ortogonalidade) e o produto escalar de um vetor coluna com ele mesmo for unitário(normalização).

A inversa da matriz de rotação é sua transposta:

$\mathcal{M}\,\mathcal{M}^{-1}=\mathcal{M}\,\mathcal{M}^\top=\mathcal{I}$ onde $\mathcal{I}$ é a matriz identidade.

[editar] Duas dimensões

Em duas dimensões, a rotação pode ser definida por um único ângulo, $θ$ . Por convenção, ângulos positivos representão rotação no sentido anti-horário.

A matriz para rotacionar um vetor coluna em coordenadas cartesianas sobre a origem é:

$M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

[editar] Três dimensões

Em três dimensões, uma rotação pode ser definida por três ângulos de Euler, $(α,β,γ)$ , ou um único ângulo de rotação, $θ$ , e a direção de um vetor, $\hat{\mathbf{v}} = (x,y,z)$ , sobre o qual é rotacionado.

A matriz para rotacionar um vetor coluna em coordenadas cartesianas sobre a origem é:

$M(\alpha,\beta,\gamma) = \begin{bmatrix} \cos \beta \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma & - \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \\ - \cos \beta \sin \gamma & - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + \sin \alpha \cos \gamma \\ \sin \beta & -\sin \alpha \cos \beta & \cos \alpha \cos \beta \end{bmatrix}$

ou:

$M(\hat{\mathbf{v}},\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y \\ (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x \\ (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 \end{bmatrix}$