Twierdzenie o trzech ciągach

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie o trzech ciągach mówi, że jeśli dane są trzy ciągi liczb rzeczywistych $a n$ , $b n$ i $c n$ takie, że dla każdego n większego od pewnej liczby naturalnej N:

$a_n\leq b_n\leq c_n$

oraz

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=g,$

to również

$\lim_{n\to\infty}b_n=g$

Analogiczne twierdzenie można udowodnić także dla funkcji; znane jest ono pod nazwą twierdzenia o trzech funkcjach.

Intuicyjnie jasne, twierdzenie to było stosowane w formie geometrycznej już przez Archimedesa i Eudoksosa. Obecną formę nadał mu Gauss.

Bezpośrednim wnioskiem z tego twierdzenia jest "twierdzenie o milicjantach" sformułowane podczas stanu wojennego w Polsce (1981-1983). Brzmi ono następująco: jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam trafisz.

Ciekawe, że we Włoszech twierdzenie o trzech ciągach nosi nazwę "twierdzenia o dwóch karabinierach".

[edytuj] Dowód

Niech $\varepsilon\,$ będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Z definicji granicy ciągu wiemy, że istnieje takie $\delta_1\,$ , że dla każdego $n > \delta_1\,$ zachodzi: $|a_n-g| < \varepsilon\,$ . Jak łatwo zauważyć, $a_n > g-\varepsilon\,$ . Analogicznie, istnieje takie $\delta_2\,$ naturalne, że dla każdego $n > \delta_2\,$ zachodzi: $c_n < g+\epsilon\,$ . Otrzymujemy stąd, że dla każdej liczby $n > \max(N, \delta_1, \delta_2)\,$ :

$g-\varepsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < g+\varepsilon\,$ ,

czyli

$|b_n - g| < \varepsilon\,$

Otrzymujemy stąd:

$\lim_{n\to\infty}b_n = g$ , c.b.d.o.

[edytuj] Przykład

Obliczyć $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}$ .

Zauważmy, że $\sqrt[n]{4^n}\leq\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}\leq \sqrt[n]{4^n+4^n+4^n}=\sqrt[n]{3\cdot4^n}=4\cdot\sqrt[n]{3}.$ Ponieważ $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$ dla dowolnej liczby $a>0\;$ więc $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3}=1$ , a zatem $\lim_{n\to\infty}4\cdot\sqrt[n]{3}=4$ . Oczywiście, również $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{4^n}=4$ , a więc szukaną granicą jest 4.