Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue'a.

[edytuj] Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) $(X,\mathcal{F},\mu)$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_n:X\longrightarrow {\mathbb R}$ (dla $n\in {\mathbb N}$ ) jest funkcją mierzalną,

(d) dla wszystkich $x\in X$ istnieje granica $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ ; niech funkcja $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie zdefiniowana przez

$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ dla $x\in X$ .

Wówczas funkcja f jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji

f n

jest całkowalna i zbiór $\left\{\int f_n\ d\mu:n\in {\mathbb N}\right\}$ jest ograniczony z góry,

to funkcja f jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie tylko, ale to nie czyni żadnej różnicy.

[edytuj] Szkic dowodu

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno i nie będziemy tu tego komentować. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, f jest mierzalna. Ponieważ ciąg $\left(\int f_n d\mu\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech $C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

Przypuśćmy, że $h:X\longrightarrow {\mathbb R}$ jest całkowalną funkcją prostą taką, że $0\leq h\leq f$ . Ustalmy na jakiś czas liczbę $\alpha\in (0,1)$ . Dla liczby naturalnej $n\in {\mathbb N}$ połóżmy

$A_n=\{x\in X: \alpha\cdot h(x)\leq f_n(x)\}$ .

Oczywiście, $A_n\in {\mathcal F}$ (jako że zarówno $f n$ jak i $h$ są mierzalne) oraz $A_n\subseteq A_{n+1}$ (używamy tu założenia (c)). Ponieważ $\alpha\cdot h(x)<f(x)$ ilekroć $f (x) > 0$ , to używając założenia (d) widzimy, że $X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n$ . Zauważmy, że

(i) $\alpha\cdot\int_{A_n} h\ d\mu\leq \int_{A_n} f_n\ d\mu\leq \int f_n\ d\mu$ .

Następnie, pamiętając że h jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii) $\lim\limits_{n\to\infty}\int_{A_n} h\ d\mu=\int_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} h\ d\mu=\int h\ d\mu$ .

Przechodząc z n do granicy w (i) i używając (ii) otrzymujemy

$\alpha\cdot\int h\ d\mu\leq C$ .

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby $\alpha\in (0,1)$ , to otrzymujemy iż $\int h\ d\mu\leq C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej h spełniającej nierówności $0\leq h\leq f$ mamy że $\int h\ d\mu\leq C$ , a więc funkcja f jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu\leq C$ . (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.) Ponieważ jednocześnie $\int f_n\ d\mu\leq \int f\ d\mu$ (jako że $f_n\leq f$ ), to mamy też

$\int f\ d\mu= C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

[edytuj] Zastosowania

Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
Jest ono również używany (przy odpowiednich założeniach o funkcjach $f_1,f_2,\ldots$ ) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych: