Twierdzenie Fubiniego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie Fubiniego - jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że $f:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}$ jest funkcją ciągłą. Wówczas

$\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y)\,d(x,y)$ .

(Powyżej, ${\mathbb R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych, a wszystkie znaki całki odnoszą sie do odpowiednich całek Riemanna.)

Spis treści

1 Postać ogólna twierdzenia
2 Przykłady
- 2.1 Zastosowanie
- 2.2 Funkcja niecałkowalna
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Postać ogólna twierdzenia

[edytuj] Miary produktowe - definicje i fakty

Przypuśćmy, że $(X,{\mathcal F})$ i $(Y,{\mathcal G})$ są przestrzeniami mierzalnymi.

Produkt przestrzeni mierzalnych $(X,{\mathcal F})$ i $(Y,{\mathcal G})$ to $(X\times Y,{\mathcal F}\times{\mathcal G})$ , gdzie $X\times Y$ jest iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y, a ${\mathcal F}\times{\mathcal G}$ jest σ-ciałem podzbiorów $X\times Y$ generowanym przez rodzinę $\{A\times B:A\in {\mathcal F}\ \wedge\ B\in {\mathcal G}\}$ .

(Tak więc produkt przestrzeni mierzalnych jest przestrzenią mierzalną.)

Jeśli $(X,{\mathcal F},\mu)$ i $(Y,{\mathcal G},\nu)$ są przestrzeniami mierzalnymi z miarami (skończonymi) to istnieje jedyna miara λ określona na σ-ciele ${\mathcal F}\times{\mathcal G}$ i taka, że dla każdych zbiorów $A\in {\mathcal F}$ i $B\in {\mathcal G}$ mamy

$\lambda(A\times B)=\mu(A)\times \nu(B)$ .

Miarę λ nazywamy miarą produktową i czasami używamy oznaczenia $\lambda=\mu\times \nu$ .

Dla funkcji $h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb R}$ i punktu $x\in X$ określamy cięcie $h x$ funkcji $h$ w punkcie $x$ jako odwzorowanie $h_x:Y\longrightarrow {\mathbb R}:y\mapsto h(x,y)$ . Analogicznie określamy też cięcie $h y$ funkcji $h$ w punkcie $y\in Y$ .

[edytuj] Twierdzenia

Niech $(X,{\mathcal F},\mu)$ i $(Y,{\mathcal G},\nu)$ będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami (skończonymi) i niech $\lambda=\mu\times \nu$ będzie miarą produktową.

Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja $h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb R}$ jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:

(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),

(b) jeśli dla $x\in X$ położymy $f(x)=\int\limits_Y h(x,y) d\nu$ a dla $y\in Y$ określimy $g(y)=\int\limits_X h(x,y) d\mu$ , to otrzymane funkcje $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ i $g:Y\longrightarrow {\mathbb R}$ są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz

$\int\limits_{X\times Y} h\ d\lambda=\int\limits_X f\ d\mu=\int\limits_Y g\ d\nu$ .

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

Przypuśćmy, że $E\subseteq X\times Y$ jest zbiorem mierzalnym (tzn $E\in {\mathcal F}\times {\mathcal G}$ ). Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i)

λ(E) = 0

(ii) $\mu\left(\left\{x\in X:\nu(\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$ ,

(iii) $\nu\left(\left\{y\in Y:\mu(\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$ .

[edytuj] Uwagi

Powyższe fakty i definicje nie ulegają zmianom jeśli pozwolimy aby nasze miary przyjmowały również wartość $\infty$ , ale wtedy powinniśmy założyć, że $μ,ν$ są σ-skończone (tzn istnieją zbiory $F_1,F_2,F_3,\ldots \in {\mathcal F}$ takie że $\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n=X$ oraz $\mu(F_n)<\infty$ dla każdego n i podobnie dla ν).
Czytelnika zainteresowanego głębszym zrozumieniem tej tematyki odsyłamy do klasycznej już książki Paula Halmosa^[1]

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zastosowanie

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

$I(a)=\int_{-a}^a e^{-x^2}$ .

Wówczas

$\lim_{a\to\infty} I(a) = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$ .

Zauważmy, że

$I(a)^2=\left ( \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )=\left ( \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2} dy \right )=\int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ .

Stosując twierdzenia Fubiniego do funkcji $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}$ znajdujemy, że $\int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ równa się całce podwójnej po kwadracie K o wierzchołkach w {(-a, a), (a, a), (a, -a), (-a, -a)} w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie z funkcji f (względem miary Lebesgue'a na płaszczyźnie). Ponieważ wszystkie wartości tej funkcji są dodatnie, to całka po kole wpisanym w kwadrat K będzie mniejsza niż $I (a) 2$ , a całka po kole opisanym na kwadracie K będzie większa niż ta wartość. Powtórnie używając twierdzenia Fubiniego, wspomniane dwie całki po kołach możemy wyrazić w układzie biegunowym i wtedy otrzymujemy

$\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I(a)^2 < \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta$

Stąd już prosto mamy, iż

$\pi (1-e^{-a^2}) < I(a)^2 < \pi (1 - e^{-2a^2})$ .

Używając twierdzenia o trzech ciągach możemy wywnioskować, że

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Powyższa całka (nazywana też całką Gaussa) jest jedną z całek przydatnych w fizyce i statystyce. Często podaje ją się w następującej formie

$\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=ac\sqrt{\pi}$ .

Tę ostatnią formułę otrzymujemy przez przeniesienie a przed znak całki, podstawienie $u = x - b$ a potem podstawienie $w = u / c$ jak następuje:

$\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2/c^2}du=ac\int_{-\infty}^\infty e^{-w^2}dw=ac\sqrt{\pi}$ .

[edytuj] Funkcja niecałkowalna

Rozważmy całki

$A=\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx$ oraz $B=\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy.$

Ze względu na symetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że $A = - B$ . Pokażemy, że $A\neq 0$ , a więc także $A\neq B$ .

Do obliczenia całki

$\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy$

użyjemy podstawienia trygonometrycznego $y = x tan(θ)$ . Tak więc

$dy=x\sec^2(\theta)\,d\theta$ oraz

x 2 + y 2 = x 2 + x 2 tan 2 (θ) = x 2 (1 + tan 2 (θ)) = x 2 sec 2 (θ).

Granice całkowania $0\leq y\leq 1$ dają nam $0\leq x\tan(\theta)\leq 1$ czyli $0\leq\tan(\theta)\leq 1/x$ , a stąd $0\leq\theta\leq\arctan(1/x).$ Zatem

$\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=$

$\int_0^{\arctan(1/x)} \frac{x^2(1-\tan^2(\theta))}{(x^2\sec^2(\theta))^2} x\sec^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\int_0^{\arctan(1/x)} \frac{1-\tan^2(\theta)}{\sec^2(\theta)}\,d\theta$

$=\frac{1}{x}\int_0^{\arctan(1/x)} \cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\int_0^{\arctan(1/x)} \cos(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\left[\frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)}$

$=\frac{1}{x}\left[\sin(\theta)\cos(\theta) \right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)} =\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x)).$

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

$\sin(\arctan(1/x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ oraz $\cos(\arctan(1/x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$

Zatem

$\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x))=\frac{1}{1+x^2}.$

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

$A=\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx =\left[\arctan(x)\right]_0^1=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}.$

Tak więc

$A=\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\frac{\pi}{4}$ oraz $B=\int_0^1\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy=-\frac{\pi}{4}.$

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji $f:[0,1]\times[0,1]\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb R}:(x,y)\mapsto \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ . Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue'a). I rzeczywiście,