Miara (matematyka)
Z Wikipedii
Miara w matematyce, jak sama nazwa wskazuje, jest narzędziem służącym do przypisywania zbiorom pewnej wartości wyrażającej ilość lub liczbę. Wyrosła ona z potrzeby bardziej usystematyzowanego spojrzenia na zagadnienia długości, pola czy objętości przy pracach nad miarą Lebesgue'a.
Badaniem własności miar zajmuje się z kolei dział zwany teorią miary lub teorią miary i całki.
Spis treści |
[edytuj] Definicja formalna
Miara to funkcja ![\mu: \mathfrak M \to [0, \infty]](../../../math/e/6/e/e6e425afec3bbe196541fcc6657d4ed5.png)
, czyli odwzorowanie z σ-ciała 
pewnego zbioru X w nieujemne liczby rzeczywiste, która dla każdego 
spełnia następujące dwa warunki:
- zbiór pusty ma zerową miarę
-
,
- miara sumy przeliczalnie wielu parami rozłącznych zbiorów jest równa sumie miar tych zbiorów
-
.
[edytuj] Przykład
Najprostszym przykładem miary jest tzw. miara licząca (zliczająca). Niech | A | oznacza moc zbioru A, wtedy
określa po prostu miarę, która przyporządkowuje zbiorowi liczbę jego elementów.
- Zobacz też: Miara Lebesgue'a.
[edytuj] Rodzaje miar
Zazwyczaj rozpatruje się miary o konkretnych własnościach. Ze względu na nie wyróżniamy m.in.:
- zewnętrzną,
- zupełną,
- unormowaną (probabilistyczną),
- skończoną,
- półskończoną (σ-skończoną),
- regularną,
- ciasną.
Ze względu na sposób mierzenia wyróżnia się również miary:
- Lebesgue'a,
- borelowską,
- liczącą,
- Haara,
- Radona.
