Omwentelingslichaam

Een omwentelingslichaam is een 3D-lichaam dat ontstaat bij het wentelen van een 2D-kromme rond een rechte, die meestal in het vlak van het lichaam ligt.

Inhoud

1 Wiskundige beschrijving
- 1.1 Voorbeeld
2 Voorbeelden
3 Inhoud en oppervlakte
- 3.1 Inhoud
- 3.2 Oppervlakte
4 Externe link

[bewerk] Wiskundige beschrijving

Een 2D-kromme kan eenvoudig gewenteld worden indien zijn parametervergelijking gekend is: de vector opgebouwd uit de 3 componenten van de parametervergelijking (eventueel aangevuld met een 3d-coördinaat) vermenigvuldigen met een rotatiematrix.

[bewerk] Voorbeeld

Veronderstel een cirkel in het xy-vlak, met parametervergelijking $\frac{}{}PV=[cos(t),sin(t),0]$ .

De rotatiematrix voor draaien rond de x-as (=middellijn): $R_x=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \end{bmatrix}$ .

Het omwentelingslichaam wordt dan $\frac{}{}R_x \cdot PV =[\cos(t), \sin(t) \cos(\theta), -\sin(t) \sin(\theta)]$ , waarbij op te merken valt dat een extra variabele werd toegevoegd, nodig om een oppervlak te beschrijven. Indien de cirkel enkel over 90° gedraaid dient te worden, kan een waarde voor

θ

ingevuld worden.

Het roteren rond de y-as heeft hetzelfde effect.

Bij het roteren rond de z-as blijft de cirkel in het xy-vlak liggen, iets wat we bewezen zien als we de vergelijking opstellen: $Rz=\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

Zodat er $\frac{}{}R_z \cdot PV=[\cos(t)\cos(\theta)-\sin(t)\sin(\theta), \cos(t)\sin(\theta)+\sin(t)\cos(\theta), 0]$ komt.

Analoog kunnen zo de vergelijkingen van onderstaande omwentelingslichamen gevonden worden.

[bewerk] Voorbeelden

[bewerk] Cirkel

Bij het wentelen van een cirkel rond zijn middellijn ontstaat een bol, bij het wentelen rond een rechte buiten de cirkel ontstaat een torus (donut).

[bewerk] Parabool

Bij het wentelen van een parabool rond zijn as, ontstaat een paraboloïde.

[bewerk] Hyperbool

Bij het wentelen van een hyperbool zijn twee mogelijkheden, het wentelen zodat één aaneengesloten stuk ontstaat: eenbladige hyperboloide, en wentelen zodat twee stukken ontstaan, een tweebladige hyperboloide.

| |

[bewerk] Twee rechten

[bewerk] Kruisende rechten

Bij het wentelen van een rechte rond een andere rechte (niet in hetzelfde vlak, dus kruisend), ontstaat een regeloppervlak: een eenbladige hyperboloïde.

[bewerk] Evenwijdige rechten

Bij het draaien van een rechte rond een andere rechte, die evenwijdig loopt, ontstaat een cilinder.

[bewerk] Snijdende rechten

Analoog ontstaat hier een kegel.

Door de opbouw is telkens duidelijk dat deze drie voorbeelden een regeloppervlak voorstellen: door ieder punt van het oppervlak gaat een rechte, die volledig tot het oppervlak behoort.

[bewerk] Inhoud en oppervlakte

[bewerk] Inhoud

We veronderstellen dat de wentelas de x-as is (de andere gevallen kunnen door roteren veranderen in dit geval); we berekenen de inhoud van het lichaam dat gevormd wordt door het vlakdeel tussen de x-as en $f (x)$ , begrensd door x=a en x=b, te roteren rond de x-as:

$V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx$ .

De inhoud van een cilinder met hoogte b-a=h en straal r is dan $V_{cil} = \pi \int_a^b r^2 dx=\pi r^2 (b-a)=\pi r^2 h$ : f(x) is namelijk constant, en gelijk aan r.

[bewerk] Oppervlakte

De oppervlakte beschreven door het roteren van een kromme met parametervergelijking $\! [x,y]=[x(t),y(t)]$ rond de x-as is:

$A=2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$

De oppervlakte van een bol ontstaat door het roteren van een halve cirkel, met vergelijking $\![x,y]=[r \cos(t),r \sin(t)]$ (t van nul tot π) is dan $A_{bol} = 2 \pi \int_0^\pi r \sin(t) \sqrt{\left(r \cos(t)\right)^2 + \left(r \sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi r^2 \int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi r^2$ .