Gammafunctie
De gammafunctie is een speciale functie in de wiskunde, die het concept van de faculteit uitbreidt tot willekeurige complexe getallen. De gammafunctie is gedefinieerd als
Deze integraal convergeert als het reële deel van z groter dan 0 is. Verder is door partieel integreren te zien dat
- Γ(z + 1) = zΓ(z).
Samen met Γ(1) = 1 geeft dit
- Γ(n + 1) = n!
voor alle natuurlijke getallen n. Een andere nuttige waarde van de gammafunctie is
De relatie Γ(z + 1) = zΓ(z) kan ook gebruikt worden om de gammafunctie voort te zetten tot een analytische functie op het hele complexe vlak met uitzondering van de niet-positieve gehele getallen. Deze analytische voorzetting (zelf ook de gammafunctie genoemd) heeft geen nulpunten. In z = - n met n een natuurlijk getal heeft de gammafunctie een pool van orde 1 met residu
Er is ook een andere formule voor de gammafunctie, die geldt voor alle complexe getallen die geen gehele getallen kleiner dan of gelijk aan 0 zijn:
Hierin is γ de constante van Euler-Mascheroni.
