호몰로지

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수학(특히 대수적 위상수학과 추상대수학)에서 호몰로지(영어 homology. '동일한'이라는 뜻의 그리스어 homos에서 나옴)는 (위상공간이나 군 등의) 수학적 대상에 아벨군이나 모듈의 열을 대응시키는 일반적인 과정이다. 호몰로지 이론에서 관련된 내용과 배경을 볼 수 있다.

위상공간의 경우 호몰로지군은 호모토피군에 비해 훨씬 계산하기 쉬우며, 따라서 공간을 분류하는 과정에서도 호몰로지를 사용하는 쪽이 대체로 편리하다.

[편집] 호몰로지군의 구성

전체적인 과정은 다음과 같다. 먼저 대상 $X$ 에 대해, $X$ 에 대한 정보를 포함하는 사슬 복체(chain complex)를 정의해야 한다. 사슬 복체는 아벨군이나 모듈의 열 $A_0, A_1, A_2 \dots$ 과 그 사이의 연속한 두 사상을 합성하면 영이 되는 준동형사상들 $d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}$ 로 이루어진다. (즉, 모든 n에 대해 $d_n \circ d_{n+1} = 0$ 이다.) 즉, n+1번째 사상의 상이 n번째 사상의 핵(kernel)에 포함되어 있으며, X의 n번째 호몰로지 군 (혹은 모듈)은 인자군(factor group) (혹은 인자모듈(factor module))

H n (X) = ker(d n) / im(d n + 1)

로 정의한다.

사슬 복체의 n+1번째 사상의 상이 언제나 n번째 사상의 핵과 같은 경우, 이 사슬복체는 완전(exact)하다고 말한다. 따라서 $X$ 의 호몰로지군은 $X$ 의 사슬 복체가 얼마나 불완전한지를 측정하는 것이다.

[편집] 예

대표적인 예로서 대수적 위상수학의 단체 호몰로지를 들 수 있다. $X$ 가 단체(simplex)이고 $A n$ 가 $X$ 의 n차원 유향(oriented)단체들을 생성원으로 갖는 자유 아벨군이나 모듈일 때, 그들 사이의 사상은

$(a[0], a[1], \dots, a[n])$

을

$\sum_{i=0}^n (-1)^i(a[0], \dots, a[i-1], a[i+1], \dots, a[n])$

로 보내며, 경계사상(boundary mappings)이라 불린다.

만약 여기에서 모듈들의 바탕환(base ring)이 체(field)일 경우, n번째 호몰로지는 바로 그 공간의 n차원 구멍의 숫자를 말해준다.

이와 비슷하게, 임의의 위상공간 $X$ 에 대해 단체 호몰로지를 정의할 수 있다. 먼저 $A n$ 을 n차원 단체로부터 $X$ 로 가는 모든 연속함수들의 자유 아벨군 (혹은 자유 모듈)로 놓으면, 그들 사이의 준동형사상 $d n$ 은 단체들 사이의 경계사상으로부터 나온다.