連続体仮説

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連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH）とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということがきちんと証明されている。

[編集] 発想

1 個よりも多い最小の個数は 2 個である。2 個よりも大きい最小の個数は 3 個である。このように、有限の個数に対しては 1 を足すことでそれ自身よりも大きい最小の個数を得ることができる。では無限の個数に対してはどうであろうか。自然数や実数は無限個存在する。これらの個数は異なるはずであるが、個数という呼び方をする限りいずれも「無限」である。これに対して、個数の概念を拡張した濃度を考えると二つの無限は区別される（詳細は濃度を参照）。無限の濃度（無限の個数）で最も小さいものは可算濃度である。しかし、可算濃度に 1 を足してもやはり可算濃度であるので、有限の場合のように 1 を足しても求めるものは得られない。このとき、可算濃度よりも大きい最小の濃度は連続体濃度であろうという仮説が連続体仮説である。

[編集] 連続体仮説の表現

自然数より真に大きく、実数より真に小さいサイズの集合がない、ということを連続体仮説は述べている。もう少し正確には連続体仮説は「自然数を含むような任意の実数の部分集合は、実数との間に全単射が存在するか、自然数との間に全単射が存在するかのいずれかである」とも言い表せる。

自然数の全体を N と書き、そこにふくまれる自然数の個数（濃度）を可算濃度 $\aleph_0$ （アレフ・ヌル）と呼ぶ（「可算」とは「数えられる」の意。可付番濃度とも言う）。また、実数の全体を R と書き、そこに含まれる実数の個数を連続体濃度 $\aleph$ と書く。さらに集合 M の濃度を card M で表すことにすれば、連続体仮説は

$\aleph_0 < \mbox{card}\,\Omega < \aleph$

なる集合 Ω が存在しないという主張であると言い表される。また N の冪集合の濃度

$\mathfrak{P}(\aleph_0)$

については、これが連続体濃度に等しいということが証明されているから、アレフ数の概念を用いると連続体仮説は、ZFC のもとで

$\mathfrak{P}(\aleph_0)=\aleph_1$

が成立すること、と言い表すこともできる。

[編集] 連続体仮説の公理性

数学に於いては一般に「仮説」という単語が用いられることはない。連続体仮説も提示された当時は連続体問題と呼ばれていたが、連続体問題は現代数学でもちいられる枠組みの中では証明できないことが「証明」されたため、「連続体仮説」へと改名されたのである。

現代数学では、標準的な枠組みとしてツェルメロ-フレンケルの公理系 ZF などの公理系を基礎におく理論構築がなされている。ZF に選択公理を加えた公理系は ZFC と呼ばれるのであるが、ZF が無矛盾ならば ZFC も無矛盾であることが知られている（ZF が矛盾を含まないことはほとんど確かだと考えられているが、このことを証明するのは ZF の内部では不可能である）。このような公理的な立場から重要なことは、ZFC と連続体仮説は独立であるということである。つまり ZFC に連続体仮説を付け加えた公理系も無矛盾であり、ZFC に連続体仮説の否定を付け加えた公理系も無矛盾である。連続体仮説は ZFC においては真としても偽としてもよいともいえる。

ゲーデルは、連続体仮説は偽であると強く主張したことで知られている。彼の見方では、連続体仮説の独立性の証明は ZFC に欠点があることを示していることになる。もっとよい公理系を選べば連続体仮説が偽であることが証明できると考えたのである。その立場を強固に推し進めた最後の論文は、学会誌には掲載されずに返還されてしまった。多くの集合論の専門家は、連続体仮説は偽であると考えているか、または真偽に対して中立的な立場を取っている。

ウィリアム・ウッディン^enのように連続体仮説が偽であるとする専門家のうちには、「自然な仮定」を加えて構築される数学モデルでは連続体濃度が $\aleph_2$ に一致するといった形で定式化を試みる動きもある。

[編集] 歴史

この仮説は 19 世紀に集合論の創始者、ゲオルク・カントールによって提出された。彼自身この解決に熱心に取り組んだことが知られている。可算濃度より連続体濃度の方が大きいことは、カントールの対角線論法によって証明されている。カントールは当初、連続体仮説も証明することはそれほど難しくないと考えていたが、遂に証明することはできなかった。

1900年、パリで開かれた国際数学者会議においてヒルベルトは彼の有名な 23 の問題の第一番目にこの連続体仮説を取り上げた。その後、1940年にゲーデルは任意の ZF のモデルにおいて構成可能集合全体のクラス L が連続体仮説をみたすことを証明し、「ZFC からは連続体仮説の否定は証明できない」ことを示した。さらに1963年、コーエンは強制法 (forcing) と呼ばれる新しい手法を用いて「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した。これらの結果から ZFC に連続体仮説を加えても、またはその否定を加えても矛盾は発生しないこと、つまり連続体仮説の ZFC からの独立性が示され、連続体仮説は解決を見た（これらの結果は全て ZF の無矛盾性を仮定している）。コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している。