Spazio di Hausdorff
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In topologia, uno spazio di Hausdorff (chiamato così in onore del matematico tedesco Felix Hausdorff, 1868-1942) o spazio separato è uno spazio topologico in cui per due punti qualsiasi si possano sempre trovare degli intorni disgiunti.
La maggior parte degli spazi considerati in analisi matematica sono spazi di Hausdorff, tanto che Felix Hausdorff incluse l'assioma di separazione nella sua definizione originaria di spazio topologico (1914). Più recentemente però si è mostrato utile considerare anche spazi non separati.
[modifica] Definizione
Uno spazio di Hausdorff o spazio separato è uno spazio topologico X che soddisfa l'assioma di separazione T2, cioè: dati due punti distinti qualsiasi x e y in X, x≠y, esistono degli intorni U di x e V di y così che U e V siano disgiunti (U ∩ V = ∅).
[modifica] Esempi
I numeri reali, con la solita topologia in cui gli insiemi aperti sono esattamente tutte le unioni arbitrarie di intervalli aperti, sono uno spazio di Hausdorff: Dati due numeri reali distinti x e y, x≠y, sia d = |x - y| / 2 la metà della loro distanza; allora gli intervalli U = ]x - d, x + d[ e V = ]y - d, y + d[ sono intorni disgiunti di x e y.
Un ragionamento simile mostra che ogni spazio metrico, quindi in particolare anche ogni spazio euclideo, induce uno spazio di Hausdorff: Dati due punti, si considerano le sfere aperte attorno a questi punti con raggio uguale alla metà della loro distanza; la disuguaglianza triangolare assicura che le due sfere sono disgiunte.
Un controesempio semplice è dato da uno spazio di almeno due punti X dotato con la topologia banale {∅, X}. Un controesempio più interessante è la topologia di Zariski in geometria algebrica.
