Skaláris szorzat

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat egy vektorokkal végzett művelet. Jelölése: a·b vagy <a,b>. Általában két értelmezés használatos, az egyik a geomertriai vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$

Három dimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;$

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

[szerkesztés] Tulajdonságai

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelmben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

kommutatív: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;$
bilineáris: $\mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;$
$\mathbf{a} \cdot (\lambda\cdot\mathbf{b}) = \lambda \cdot (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b});$
pozitív definit: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0$ , és $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}= 0$ akkor és csak akkor ha $\mathbf{a}= \mathbf{0}$

Geometriai vektorok esetén $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$ , azaz önmagával való skalárszotzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

[szerkesztés] Általánosítás

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a $< a, b >$ jelölés.