Mértékszabadság
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
A mértékszabadság az elektrodinamikai potenciálokban megjelenő sajátos többértelműség, ami miatt végtelen sokféle potenciálhoz, amiket meghatározott transzformáció köt össze, ugyanazok az erőterek és más fizikai mennyiségek tartoznak. Enek a redundanciának az értelmét a klasszikus fizika nem tudja megmagyaraázni, a kvantumtérelmélet világít rá a jelenségre. Így a mértékszabadság klasszikus alakja mintegy előrejelzi, hogy a klasszikus fizika nem a végső fizikai elmélet, létezik azon túl valami más, ami világunk pontosabb leírását adja.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] A klasszikus elektrodinamikában
Az elektrosztatikában régóta ismert, hogy az elektrosztatikus potenciál csak egy konstans erejéig meghatározott. Ennél azonban több is kijelenthető és nem csak sztatikus esetre. Az E elektromos térerősséget és a B mágneses indukciót definiálhatjuk a Φ skalárpotenciál és az A vektorpotenciál segítségével a következő módon:
- és
E and B azonban változatlan marad, ha tetszőleges függvény segítségével végrehajtjuk a következő transzformációt A-n és Φ-n:
A és Φ egy konkrét megválasztását egy mértéknek, -t egy mértékfüggvénynek nevezzük. Az itt bemutatott mértékszabadság egy U(1) lokális mértékinvarianciának felel meg, ami a kvantumelektrodinamika formalizmusában látszik jobban. A mértéket rögzíteni lehet sokféle módon, egy-egy speciális feltétel kirovásával (ld. alább).
Előlegezzük meg egy pillanatra a Minkowski-térnél látott kovariáns jelöléseket: Aμ=(Φ,A), Aμ=(Φ,-A). Ezekkel a jelölésekkel a fenti mértéktranszformáció az
- , ahol
alakban írható, ami mutatja azt, - ami korrekt módon is bebizonyítható, - hogy Aμ és Aμ egy négyesvektor, a négyespotenciál kontravariáns és kovariáns komponensei.
[szerkesztés] A kvantumelektrodinamikában
Az egyszerűség kedvéért térjünk át a részecskefizikában széles körben használt egységrendszerre. A kvantumelektrodinamikában nemcsak az elektromágneses teret, hanem az anyagi részecskéket is terek írják le a kvantummechanikai hullám-részecske kettősséggel összhangban. A mértékszabadságot ezekre a terekre is ki kell terjeszteni, különben nem juthatunk általános érvényű fizikai következtetésekre.
A sugárzási térre - aminek négyespotenciálját mértékmezőnek hívjuk - továbbra is igaz, hogy a mértéktranszformáció:
kovariánsan változtatja a mozgásegyenleteket, az anyagi terekre viszont változtatás nélkül csak egy globális fázistranszformáció megengedett:
Az anyagi terek esetén a deriváltat a
kovariáns deriválttal helyettesítve - ami magában foglalja az anyagi és sugárzási terek kölcsönhatását is - és egy kis kézenfekvő, heurisztikus kiegészítéssel kovariáns egyenletekhez jutunk, ahol a mértéktranszformáció hatása az anyagi terekre:
Az anyagi terek esetén egy lokális (helyfüggő) fázistranszformációt látunk, ami a tér (a hullámfüggvény) abszolutértéknégyzetét nem változtatja meg. Az ilyen transzformációt unitér transzformációnak nevezzük. Λ(x) egy "egydimenziós" szám és nem egy - pl. többdimenziós mátrixszal reprezentálható - operátor, ezért ezt a mértéktranszformációt U(1)-transzformációnak (U, mint unitér) hívjuk. Ezek mértékcsoportja az U(1)-csoport, ami az elektromágneses kölcsönhatás belső szimmetriacsoportja (belső, azaz nem téridő).
[szerkesztés] A kvantumtérelméletben
A kvantumtérelméletben kiterjesztjük a megengedett mértékcsoportok körét a Lie-csoportokra. Ezek közül valódi fizikai jelentéssel, természetesen csak néhány bír, a kutatások tárgya, hogy melyek ezek. Az abeli, azaz kommutatív U(1) csoporttal szemben a Lie-csoportok többsége nem kommutatív. Az anyagi mezők - megfelelően definiált - kovariáns deriváltja ugyanúgy transzformálódik, mint az anyagi mezők maguk:
ahol pl. unitér mértékcsoport esetén:
ahol a Ta mennyiségek a csoport antihermitikus generátorai. A kovariáns derivált pedig:
azaz annyi mértékmezőt (sugárzási mezőt, közvetítő részecskét) kell bevezetni, ahány dimenziós a csoport. SU(2) esetén hármat, SU(3) esetén nyolcat, általában SU(n) esetén n2-1-et. A mértékmezők transzformációja az elektrodinamikával analóg:
[szerkesztés] Mértékrögzítések
Konkrét számolások esetén nagyon kényelmes sokszor bevezetni egy olyan feltételt, ami a mértékszabadságot korlátozza, a mértéket rögzíti. Ez a fizikai végeredményt nem befolyásolja, de leegyszerűsíti a számolást, mert bizonyos változókra könnyebben megoldhatóvá teszi pl. az egyenleteket és így a maradék probléma is leegyszerűsödik.
[szerkesztés] Coulomb-mérték
A Coulomb-mérték (sugárzási vagy tranzverzális mértékként is ismert) a mértékfüggvény olyan megválasztását jelenti, hogy:
Hátránya, hogy ebben a mértékben A és φ néha a fénynél gyorsabban is terjedhet. Ennek mindenesetre nincs jelentősége, mert A and φ önmagukban megfigyelhetetlen mennyiségek, a megfigyelhető mezők pedig helyesen viselkednek.
A Coulomb-mértékben, ahogy az a Gauss-törvényből látszik, a skalárpotenciál egyszerűen egy Poisson-egyenlet határozza meg a teljes töltéssűrűségből (beleértve a kötött töltésekete is) kiindulva.
[szerkesztés] Lorenz-mérték
A Lorenz-mérték a mértékfüggvény olyan megválasztását jelenti, hogy:
Könnyen megmutatható, hogy ebben az esetben a mérték még mindig megváltoztatható, ha a mértékfüggvény kilégíti a hullámegyenletet:
- .
Azaz a Lorenz-mérték nem teljes olyan értelemben, hogy van benne maradék mértékszabadság. Mindenesetre a mértékfüggvény fénysebességgel terjed. A speciális relativitáselméletben ez egy kovariáns mérték
Fontos megjegyezni, hogy a mértéket Ludwig Lorenz dán fizikus publikálta és nem Hendrik Antoon Lorentz holland fizikus, ahogy azt gyakran gondolják. Lorenz eredeti publikációját James Maxwell nem fogadta jól (elsősorban a saját elektromágneses munkássága miatt). Lorenz munkája volt az első Maxwell 1865-ös publikációja után, ami azt szimmetrizálta és lerövidítette.
[szerkesztés] Weyl-mérték
A Weyl mérték - ami Hermann Weylről kapta a nevét - egy nem teljes mérték, ami a következő választást jelenti:
[szerkesztés] Maximum abeli mérték
Egy nemabeli mértékelméletben egy maximum ablei mérték egy olyan nem teljes mérték, ami a mértékszabadságot a maximum abeli alcsoporton kívül rögzíti. Példák:
- SU(2) mértékelmélet D dimenzióban: a maximum abeli alcsoport egy U(1) csoport. Ha ezt úgy választjuk meg, hogy legyen az, amit a σ3 Pauli-mátrix generál, akkor ez a mérték az, ami a következő függvényt maximalizálja:
- where
- SU(3) mértékelmélet D dimenzióban: a maximum abeli alcsoport egy U(1)×U(1) alcsoport. Ha ezt úgy választjuk meg, hogy a λ3 és λ8 Gell-Mann mátrixok generálják, akkor ez a mérték a következő függvény maximalizását jelenti:
- ahol
[szerkesztés] Landau-mérték
A Landau-mérték a kvantumelektrodinamikában a fotonpropagátorra kirótt következő feltételt jelenti:
A Landau-mérték analóg a poteciálokra kirótt Lorenz-mértékkel.
[szerkesztés] Feynman-mérték
[szerkesztés] 't Hooft-mértékek
A mértékszabadság kezelésére rejtett szimmetriák esetére 't Hooft 1971-ben állította fel a saját mértékeit a Higgs-mező vákuumértéke körüli sorfejtéséből kiindulva:
ahol a χ függvények vákuumértéke nulla. A mértékfeltétel pedig a következő:
ahol M a Higgs-bozon tömege. ξ speciális megválasztásai korábbi mértékválasztásokkal ekvivalensek:
- ξ=0 a Landau-mérték
- ξ=1 a Feynman-mérték