Bernoulli törvénye

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és újjai közé fuj, a papírlap tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás tenyeréhez szorítja. Bernoulli törvénye pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte Leonhard Euler és mások.

Tartalomjegyzék

1 Bernoulli egyenletei

[szerkesztés] Bernoulli egyenletei

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

[szerkesztés] Összenyomhatatlan közeg

Állandó nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

${v^2 \over 2}+gh+{p \over \rho}=\mathrm{konstans}$

v = közeg sebessége az áramvonal mentén

g = nehézségi gyorsulás

h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában

p = nyomás az áramvonal mentén

$ρ$ = a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
Állandósult áramlás
Összenyomhatatlan közeg; $ρ$ = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

[szerkesztés] Összenyomható közeg

Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, mely esetben egy áramvonal mentén:

${v^2 \over 2}+ \phi + w =\mathrm{konstans}$

ahol

$\phi \,$ = az egységnyi tömegre eső helyzeti energia, $\phi = gh \,$ állandó nehézségi gyorsulás esetén

$w \,$ = a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

$w = \epsilon + \frac{p}{\rho}$ ahol $\epsilon \,$ a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és $b$ -vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) $b$ állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

[szerkesztés] Levezetése

[szerkesztés] Összenyomhatatlan közegre

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli egyenletet az Euler egyenletek integálásával vagy az energia megmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb leveztésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

$\rho \frac{dv}{dt}= -\frac{dp}{dx}$

Állandósult áramlás esetén $v = v (x)$ , így

$\frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx}v=\frac{d}{dx} \frac{v^2}{2}$

Ha $ρ$ állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

$\frac{d}{dx} \left( \rho \frac{v^2}{2} + p \right) =0$

vagy

$\frac{v^2}{2} + \frac{p}{\rho}= C$

ahol a $C$ állandó, ezt néha Bernoulli állandónak hívják. Látható, hogy ha a sbesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az anergiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk az energia megmaradását.

Egy folyadékrész balról-jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy

Δ t;

idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét.

Az energiamegmaradás elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők munkája + a potenciális energia csökkenése = kinetikai energia növekedése

A külső erők munkája:

$F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_ {1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t. \;$

A potenciális energia csökkenése:

$m g h_{1}-m g h_{2}=\rho g A _{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2} \Delta t h_{2} \;$

A kinetikai energia növekedése:

$\frac{1}{2} m v_{2}^{2}-\frac{1}{2} m v_{1}^{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2} ^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}.$

A fentieket összevetve:

$p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}$

vagy

$\frac{\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{ 2}}{2}+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}+p_{1} A_{1 } v_{1}\Delta t=\frac{\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{ 2}^{2}}{2}+\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}+p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t.$

Miután egyszerűsítünk $Δ t$ -val, $ρ$ -val és $A 1 v 1$ -val (= térfogatáram = $A 2 v 2$ , mivel a közeg összenyomhatatlan):

$\frac{v_{1}^{2}}{2}+g h_{1}+\frac{p_{1}}{\rho}=\frac{v_{2}^{2}}{2}+g h_{2}+\frac{p_{2}}{\rho}$

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

$\frac{v^{2}}{2}+g h+\frac{p}{\rho}=C$

Tovább egyszerűsítve g-vel:

$\frac{v^{2}}{2 g}+h+\frac{p}{\rho g}=C$

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

$v=\sqrt{{2 g}{h}},$ or $h=\frac{v^{2}}{2 g}$ .

A $\frac{v^2}{2 g}$ kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikus nyomás vagy statikus magasság definíciója:

$p=\rho g h \,$ , or $h=\frac{p}{\rho g}$ .

A $\frac{p}{\rho g}$ kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

[szerkesztés] Összenyomható közegekre

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az $A 1$ és az $A 2$ keresztmetszeten a $Δ t$ időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

$0 = \Delta M_1 - \Delta M_2 = \rho_1 A_1 v_1 \, \Delta t - \rho_2 A_2 v_2 \, \Delta t$ .

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az $A 1$ és $A 2$ keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

$0 = \Delta E_1 - \Delta E_2 \,$

ahol $Δ E 1$ és $Δ E 2$ az energia mennyisége, mely az $A 1$ kersztmetszeten beáramlik és a $A 2$ keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a $p\,dV$ mechanikai munka alakjában jelentekző energiájának az összege:

$\Delta E_1 = \left[ \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2 + \phi_1 \rho_1 + \epsilon_1 \rho_1 + p_1 \right] A_1 v_1 \, \Delta t$

Hasonló összefüggést lehet felírni a $Δ E 2$ -re is. <gy behelyettesítve a $0 = Δ E 1 - Δ E 2$ ezt kapjuk:

$0 = \left[ \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2+ \phi_1 \rho_1 + \epsilon_1 \rho_1 + p_1 \right] A_1 v_1 \, \Delta t - \left[ \frac{1}{2} \rho_2 v_2^2 + \phi_2\rho_2 + \epsilon_2 \rho_2 + p_2 \right] A_2 v_2 \, \Delta t$

amit így át lehet alakítani:

$0 = \left[ \frac{1}{2} v_1^2 + \phi_1 + \epsilon_1 + \frac{p_1}{\rho_1} \right] \rho_1 A_1 v_1 \, \Delta t - \left[ \frac{1}{2} v_2^2 + \phi_2 + \epsilon_2 + \frac{p_2}{\rho_2} \right] \rho_2 A_2 v_2 \, \Delta t$