שבר חלקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה, פירוק לשברים חלקיים של פונקציה רציונלית מבטא את הפונקציה כסכום של שברים, כאשר:

המכנה של כל אחד מהשברים הינו חזקה של פולינום אי פריק.
המונה הינו פולינום ממעלה נמוכה משל המכנה.

פירוק לשברים חלקיים הוא שימושי בתחומים רבים, למשל במציאת פונקציות קדומות (ראו אינטגרציה בשברים חלקיים).

תוכן עניינים

1 דוגמאות

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] גורם ריבועי פריק במכנה

נניח וברצוננו לפרק את השבר

${x+3 \over x^2-3x-40}\,$

לשברים חלקיים. המכנה בבירור מתפרק לגורמים הבאים:

$(x-8)(x+5)\,$ .

לפיכך, אנו מחפשים סקלרים A ו-B כך ש:

${x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}$ .

דרך אחת למצוא את A ו-B היא על ידי "העלמת השברים", כלומר, הכפלת שני הצדדים במכנה המשותף (x − 8)(x + 5). זה מביא אותנו לביטוי הבא:

$x+3=A(x+5)+B(x-8)\,$ .

נאסוף באגף הימני של המשוואה את אשר מוכפל ב-x ואת אשר לא.

$x+3=(A+B)x+(5A-8B)\,$ .

מכיוון שיש שיוויון בין שני אגפי המשוואה, ניתן להשוות את המקדמים של הביטויים הדומים.

$\begin{matrix} A & + & B & = & 1 \\ 5A & - & 8B & = & 3 \end{matrix}$

הפתרון לביטויים אלו הוא A = 11/13, B = 2/13. לפיכך, יש לנו את הפירוק הבא לשבר זה:

${x+3 \over x^2-3x-40}={11/13 \over x-8}+{2/13 \over x+5}$ .

[עריכה] גורם ריבועי בלתי פריק במכנה

על מנת לפרק את השבר

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}$

לשברים חלקיים, ראשית נשים לב כי

$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\,$ .

ניתן לראות כי הביטוי x² + 2x + 4 איננו פריק באמצעות מספרים ממשיים מכיוון שהדיסקרימיננטה של הביטוי היא שלילית. לכן, אנו מחפשים סקלרים A, B, C כך ש:

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}$ .

לאחר "העלמת השברים" אנו מקבלים

$10x^2+12x+20=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,$ .

ניתן לסדר משוואה זו ולכתוב על פיה שלוש משוואות לינאריות בעלות שלושת הנעלמים A, B, C, כמו שעשינו בדוגמה הקודמת, אבל מכיוון שפתירת מערכת כזו של משוואות הופכת למעיקה ככל שמספר המשתנים גדל, אנו מנסים שיטה אחרת. הצבה של 2 במקום x במשוואה מעלימה את כל הביטוי הימני השני ואנו מקבלים

$10\cdot 2^2+12\cdot 2+20=A(2^2+2\cdot 2+4)\,$ ,